今回は整式について説明しますが，計算は少ししか行いません。 まずは整式に関する用語を確認していきましょう。
目次
単項式
数と文字を掛け合わせた式を単項式といいます。 数だけ，文字だけの式も単項式に含まれます。 例えば次の5つの式は全て単項式です。
単項式中で，数の部分のことを係数，掛け合わせた文字の数を次数といいます。 係数が1の場合は\(1x\)や\(1abc^2\)ではなく，\(x\)や\(abc^2\)のように1を省略します。 上の5つの単項式の係数・次数は次の通りになります。
| 単項式 | 係数 | 次数 |
|---|---|---|
| \(5\) | \(5\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) | \(1\) |
| \(3x\) | \(3\) | \(1\) |
| \(2xyz\) | \(2\) | \(3\) |
| \(abc^2\) | \(1\) | \(4\) |
ここで１つ注意があります。 係数・次数は「どの文字に着目するか」で変わってくるのです。 例えば\(x\)に着目すると，上の単項式の係数・次数は次の通りになります。
| 単項式 | 係数 | 次数 |
|---|---|---|
| \(5\) | \(5\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) | \(1\) |
| \(3x\) | \(3\) | \(1\) |
| \(2xyz\) | \(2yz\) | \(1\) |
| \(abc^2\) | \(abc^2\) | \(0\) |
つまり着目していない文字は数として扱うわけです。
一見ややこしいようですが，なぜ特定の文字に着目したりするのでしょうか。 それは文字にも色んな使い道があるからです。 通常，着目する文字は変数や未知数で，その他の文字は定数です。 定数はただの数なので係数に含めて次数は考えないわけです。
変数・未知数・定数について，あやふやな方はこちらへどうぞ。
多項式
いくつかの単項式の和を多項式といいます。 また多項式中の各単項式を項といいます。 例えば\(2x^2y - x + 8\)は多項式で\(2x^2y, \ -x, \ 8\)はその項です。
整式
単項式と多項式を合わせて整式といいます。
中高の数学では単項式と多項式をはっきり区別します。 なのでその両方を含む概念として「整式」という用語をよく使います。
ただし中高の数学以外では，項が１つだけの場合でも多項式と見なすことが多いです。 この場合，単項式や整式という用語をわざわざ使う必要がないので，どれも多項式と呼ばれることになります。
中高の数学では，日本語として分かりやすいように単項式と多項式を区別しますが，数学的にはこれらを区別する意味はあまりないのです。
整式の項の中で文字の部分が同じものを同類項といいます。 例えば\(xy + 5x + 3xy\)という整式では\(xy\)と\(3xy\)が同類項です。 同類項は数の部分を足し合わせて一つにまとめられます。 なので上の整式は\(xy + 5x + 3xy = 4xy + 5x\)となります。
同類項がまとめられるのは，分配法則のおかげです。
単項式で次数というものを考えましたが，整式でも次数を考えられます。 整式の項の中で最も次数が高い項の次数を整式の次数とします。 また次数が\(n\)の整式を\(n\)次式といいます。 \(4xy + 5x\)の次数は\(2\)ですね。最も次数が高い項は\(4xy\)で，その次数が\(2\)ですから。
整式の次数を考えるときは先に同類項をまとめる必要があります。 そうしないと，例えば\(x + y = x + y + x^{100} - x^{100}\)と変形することでどんなに高い次数でもアリになってしまいます。 この整式の次数はもちろん\(1\)です。\(100\)ではありません！
高校数学では単項式と多項式をはっきり区別しますが，このとき\(0\)の扱いが面倒になります。 \(0\)は定数なので単項式とすることも多いですが，例外的に単項式ではないとすることもあります。 \(0 = 0x^2 + 0\)のように多項式っぽい解釈もできてしまうので。。。
また，\(0 = 0x = 0x^2 = \cdots\)なので，\(0\)の次数ははっきり決められません。 なので「\(0\)の次数は定められない」ことにしています。
こんな理由から「\(0\)は単項式か多項式か？」とか「\(0\)の次数は？」という出題がされることはありません。
整式の項の中で文字を含まない数だけの項を定数項といいます。 言い換えれば次数が\(0\)の項のことです。 単項式の説明でも注意した通り，着目していない文字は数として扱うので注意しましょう。
整式の項の並べ方についても説明します。 項の次数が「大⇒小」となるような並び順を降べきの順といい， 項の次数が「小⇒大」となるような並び順を昇べきの順といいます。
例えば\(x + 1 + x^2\)という整式は， 降べきの順で\(x^2 + x + 1\)，昇べきの順で\(1 + x + x^2\)となります。 降べきの順がよく使われます。
累乗
同じ文字\(a\)を\(n\)回かけたものを\(a\)の\(n\)乗といい，\(a^n\)と書きます。 \(a\)の右肩の\(n\)のことを指数といいます。 また，\(a^1, a^2, a^3, \cdots\)をまとめて\(a\)の累乗といいます。
次の指数法則は理解しておきましょう。 この法則が成り立つ理由は簡単なので考えてみてください。
\(m, n\)は正の整数とします。
- \(a^m \times a^n = a^{m + n}\)
- \((a^m)^n = a^{mn}\)
- \((ab)^n = a^nb^n\)
確認問題
次の単項式の係数・次数をそれぞれ答えてください。
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\(5x^3\)
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\(abcde\)
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\(250\)
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\(3x^2yz^2\)（ただし\(x\)に着目）
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\(2a^2bxy^2\)（ただし\(a, y\)に着目）
答え
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係数は\(5\)，次数は\(3\)
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係数は\(1\)，次数は\(5\)
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係数は\(250\)，次数は\(0\)
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係数は\(3yz^2\)，次数は\(2\)
着目する文字を後ろに置いて，\(3yz^2\ x^2\)と書けば分かりやすいです。
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係数は\(2bx\)，次数は\(4\)
着目する文字を後ろに置いて，\(2bx\ a^2y^2\)と書けば分かりやすいです。
次の整式についての問題です。
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整式を，同類項をまとめた上で，降べきの順に整理してください。
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この整式の次数・定数項を答えてください。
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\(y\)に着目したとき，この整式の次数・定数項はどうなるでしょうか。
答え
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\(x^2y + 2xy^2 - 2xy + 2x + 3\) （\(x^2y, 2xy^2\)は次数が同じなので順不同）
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次数は\(3\)，定数項は\(3\)
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整式を整理し直しましょう。 \(y\)に着目した上で同類項をまとめ，整式を降べきの順で整理すると\(2xy^2 + (x^2 - 2x)y + (2x + 3)\)となります。 次数は\(2\)，定数項は\(2x + 3\)です。
次の計算をしてください。
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\(ab \times a^2b\)
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\((ab^2c)^3\)
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\((-2a)^3 \times (-3ab)^2 \times (-b)^5\)
答え
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与式 \( = a^{1 + 2}b^{1 + 1} =\) \(a^3b^2\)
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与式 \( = a^{1 \times 3}b^{2 \times 3}c^{1 \times 3} =\) \(a^3b^6c^3\)
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複雑な式の計算は符号・係数・文字ごとに整理すると良いです。 次のように整理できます。
符号 \((-1)^{3 + 2 + 5} = +1\) 係数 \(2^3 \cdot 3^2 = 72\) 文字 \(a^{3 + 2}b^{2 + 5} = a^5b^7\) これで計算結果が次のようになることが分かりますね。
与式 \( = \)\(72a^5b^7\)