図形と計量第 2 回

三角比の拡張

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三角比について

三角比の相互関係

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はじめに

前回，直角三角形を使って0∘～90∘の三角比を定義しました。 しかし，一般の三角形の角度には0∘～180∘がありえます。 どうやら三角比をより活用できるようにするためには，三角比を改良する必要がありそうです。

目次

三角比と単位円

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三角比を拡張するとはいっても，直角三角形の角が90∘より大きい角度になることはありえません。 拡張のためには，定義の仕方自体を見直す必要がありそうです。

前回，直角三角形の辺の比として三角比を定義しました。 「比」って何だかややこしそうですが，斜辺の長さを1としてみてください。 ちょっとシンプルな感じになります。

斜辺以外の辺がちょうどsin⁡θ，cos⁡θになりましたね。 sin⁡θ，cos⁡θは斜辺を分母とする比ですから，斜辺を1とすることで最もシンプルになるわけですね。

ここでsin⁡θ，cos⁡θは縦・横方向の長さですから，座標でうまく表せそうです。 下図のように座標軸を設定してみましょう。

こうしてみると，三角比というのは，実は原点からの距離が1である点の座標であることが分かります。 それはつまり，原点を中心とする半径1の円周上の点の座標です。 下図を見てイメージしましょう。

θの値を変えると図の赤い線がぐるぐる回ります。 そのときの点Pのx座標がcos⁡θ，y座標がsin⁡θなんですね。 半径1の円のことを単位円といいますが，三角比は単位円によって定義できるわけです。

ところで，何か忘れてませんか？ そう，tan⁡θの出番がまだきてないですね。 tan⁡θも単位円と結び付けてみましょう。 もういちど直角三角形の図を見てください。

tan⁡θがどこの比であったかを思い出すと，tan⁡θが次の式で表されることが分かります。

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ

改めて先ほどの単位円の図を見てください。 この式は赤い線の傾きを表していることが分かりますか？ xの増加量に対するyの増加量を表す比になっていますね。

tan⁡θが赤い線の傾きを表すことは分かりました。 これも図の中に表現してみましょう。

赤い線は原点を通り，傾きがtan⁡θですから，その方程式は次のようになります。

y=(tan⁡θ)x

この方程式を使ってtan⁡θを図中に登場させるには，直線x=1との交点をとれば良いです。 交点のy座標としてtan⁡θが登場します。

これでtan⁡θも含め，三角比を単位円+αを使って定義できました。 この定義を使って，三角比を拡張していきましょう。

三角比の拡張

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それでは，三角比を拡張していきましょう。 前項で見た通り，三角比は単位円で定義できるわけですが，θをどんどん大きくしていくとどうなるでしょうか？ 下図を見てください。

θが90∘を超えても三角比の定義がそのまま使えてますね。 しかも，点Pが第２象限に移動したことから，三角比の符号が次のようになることが分かります。

■ 三角比の符号

θ sin⁡θ cos⁡θ tan⁡θ
θ=0∘ 0 + 0
0∘<θ<90∘ + + +
θ=90∘ + 0 不可
90∘<θ<180∘ + − −
θ=180∘ 0 − 0

sin⁡θは点Pのy座標，cos⁡θはx座標，tan⁡θは赤線の傾きであることを考えれば，この符号の変化は簡単に理解できます。

また，tan⁡90∘は定義できないことに注意してください。 θ=90∘のとき，赤い線は真上を向くことになり，傾きは考えられません。 （xの変化量が0なので，傾きの式の分母が0になってしまいます。）

補足 θをもっと大きくすると

数学Ⅰでは0∘～180∘の三角比しか考えませんが，もっと大きいθや負のθも考えられます。 詳しくは数学Ⅱで学びますが，単位円を使って同じように定義できるので，余裕があれば考えてみてください。

これで三角比の拡張が完了しましたが，じゃあcos⁡135∘の値は？と急に聞かれたら困ると思います。 次項で拡張した三角比の値について考えてみましょう。

余角と補角

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拡張した三角比の値を計算できるようにしましょう。 拡張した定義は，直角三角形を使った定義を引き継いでいますから，0∘～90∘のときの値は前回学んだものと同じです。 このときの三角比の値は次のようになりますね。

θ sin⁡θ cos⁡θ tan⁡θ
30∘ 12 32 13
45∘ 12 12 1
60∘ 32 12 3

この表を改めて見てみると，あることに気が付きます。 sin⁡30∘とcos⁡60∘，sin⁡60∘とcos⁡30∘の値がそれぞれ同じですね。 このような角度の合計が90∘である２つの角を互いに余角であるといいます。 余角をとるとsinとcosが入れ替わるんですね。

これは偶然ではなく，次の公式が成り立ちます。

余角の公式
  1. sin⁡(90∘−θ)=cos⁡θ
  2. cos⁡(90∘−θ)=sin⁡θ
  3. tan⁡(90∘−θ)=1tan⁡θ

公式が成り立つことを確認しておきます。 下図のように，同じ直角三角形を向きを変えて２つ並べてみましょう。 直角でない角のうち，ひとつの角度をθとすると，もうひとつは90∘−θになります。

この図を使ってθと90∘−θの三角比を比べると，sinとcosが入れ替わることが確認できます。 同じ三角形の向きを変えたことで，比をとる辺が入れ替わったからですね。 同様にtanについても，比の分母分子が入れ替わることが分かります。

0∘<θ<90∘の三角比についてはよく分かりました。 その他のθについても考えましょう。 まずは90∘<θ<180∘を考えます。

例としてcos⁡135∘の値を考えます。 下図の状況を考えれば良いですね。

図を見ると気づくことがあります。 今までは第１象限に赤線を斜辺とする直角三角形ができていましたが，今回は第２象限に直角三角形ができています。 この直角三角形に注目すると，下図のように45∘の三角比を使って考えられるようになります。

こうして見ればcos⁡135∘の値はすぐ分かりますね。 y軸をはさんで，ちょうどcos⁡45∘の反対側にあるので，次の値になります。

cos⁡135∘=−cos⁡45∘=−12

ついでにsin⁡135∘についても考えてみると，図からsin⁡45∘と全く同じ値になることが分かります。 tan⁡135∘については，赤線を右側に延長した図を想像すると，x軸をはさんで，ちょうどtan⁡45∘の反対側にあることが分かります。

45∘と135∘のように，角度の合計が180∘である２つの角を互いに補角であるといいます。 上で考えたように，補角について次の公式が成り立ちます。

補角の公式
  1. sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ
  2. cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡θ
  3. tan⁡(180∘−θ)=−tan⁡θ

補角を考えるとき，図の赤線がちょうどy軸をはさんで反対側に移ります。 その図を思い浮かべれば，sinは変わらないし，cosは符号が反転するし，tanも符号が反転することが分かります。

あと確認できていないθは，ちょうど0∘，90∘，180∘の場合ですね。 これは単位円をかけば簡単に分かるので，確認問題にしておきます。

確認問題

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θが0∘，90∘，180∘の場合の三角比を考えたいと思います。 それぞれの場合の三角比の値を求め，次の表を埋めてください。

θ sin⁡θ cos⁡θ tan⁡θ
0∘
90∘ 不可
180∘
答え

単位円を思い浮かべれば簡単です。 単位円の図の赤線はθ=0∘のときは右に倒れた状態です。 θ=90∘のときは直立，θ=180∘のときは左に倒れた状態です。 したがって，三角比の値は次のようになります。

θ sin⁡θ cos⁡θ tan⁡θ
0∘ 0 1 0
90∘ 1 0 不可
180∘ 0 −1 0

余角の公式と補角の公式を使って，次の式を証明してください。

  1. sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ

  2. cos⁡(90∘+θ)=−sin⁡θ

  3. tan⁡(90∘+θ)=−1tan⁡θ

答え

余角・補角の公式を使えるように工夫します。 余角の公式は90∘−θ，補角の公式は180∘−θを使う公式です。 これを活用して90∘+θをつくるには，90=180−90であることに注目すれば良いです。

  1. 次の計算で証明できます。 補角の公式・余角の公式の順で使います。

    sin⁡(90∘+θ)=sin⁡{180∘−(90∘−θ)}=sin⁡(90∘−θ)=cos⁡θ

  2. 次の計算で証明できます。 補角の公式・余角の公式の順で使います。

    cos⁡(90∘+θ)=cos⁡{180∘−(90∘−θ)}=−cos⁡(90∘−θ)=−sin⁡θ

  3. 次の計算で証明できます。 補角の公式・余角の公式の順で使います。

    tan⁡(90∘+θ)=tan⁡{180∘−(90∘−θ)}=−tan⁡(90∘−θ)=−1tan⁡θ

次の値を求めてください。

  1. sin⁡150∘

  2. cos⁡120∘

  3. tan⁡135∘

  4. sin⁡135∘

  5. cos⁡150∘

  6. tan⁡120∘

答え

補角の公式を活用しましょう。 補角の公式を暗記する必要はありません。 単位円を思い浮かべれば，符号が変化するかどうか簡単に分かります。

  1. sin⁡150∘=sin⁡30∘=12

  2. cos⁡120∘=−cos⁡60∘=−12

  3. tan⁡135∘=−tan⁡45∘=−1

  4. sin⁡135∘=sin⁡45∘=12

  5. cos⁡150∘=−cos⁡30∘=−32

  6. tan⁡120∘=−tan⁡60∘=−3

sin⁡25∘=a，cos⁡40∘=bとしたとき，次の式をa,bで表してください。

sin⁡155∘cos⁡65∘+sin⁡130∘cos⁡115∘
答え

与えられた三角比の値は，角度が25∘，40∘のものです。 しかし問題の式に登場するのは，もっと大きな角度の三角比です。

与えられた値を使うため，90∘以上の三角比には補角の公式，45∘以上の三角比には余角の公式を使うことで，小さな角度の三角比にもっていきましょう。

式に登場するパーツをひとつひとつ変形しておきます。

sin⁡155∘=sin⁡25∘=a
cos⁡65∘=sin⁡25∘=a
sin⁡130∘=sin⁡50∘=cos⁡40∘=b
cos⁡115∘=−cos⁡65∘=−sin⁡25∘=−a

以上より，問題の式が次のように計算できます。

sin⁡155∘cos⁡65∘+sin⁡130∘cos⁡115∘=a⋅a+b⋅(−a)=a2−ab

ある関数f(x)について，定義域内でxが増加するにつれてf(x)も常に増加するとき，f(x)は単調増加するといいます。 逆にf(x)が常に減少する場合は，単調減少するといいます。

三角比sin⁡θ，cos⁡θ，tan⁡θをθの関数として考えて，単調増加または単調減少するか考えてみましょう。

θの定義域を鋭角（0∘<θ<90∘），または鈍角（90∘<θ<180∘）に限定して考えたとき，各三角比が単調増加するか，単調減少するか，どちらでもないか答えてください。

解答は次の表に，単調増加するなら+，単調減少するなら−，どちらでもないなら±と入れてください。

定義域 sin⁡θ cos⁡θ tan⁡θ
鋭角
鈍角
答え

単位円の定義に慣れるための練習になる問題です。 それぞれの三角比の定義を思い出しながら考えましょう。

まずsin⁡θについてですが，これは単位円周上のy座標でしたね。 θが鋭角の間はy座標が増加していきますが，円の頂上にたどりつくと，θは鈍角になり，今度は円を下って減少していきます。

次にcos⁡θについてですが，これは単位円周上のx座標でしたね。 θが鋭角でも鈍角でも，円周上の点はどんどん左の方に向かっていくので，cos⁡θはずっと単調減少です。

ちょっとややこしいのがtan⁡θです。 tan⁡θは原点と単位円周上の点を結ぶ線分を延長し，直線x=1とぶつかる点のy座標でしたね。 θが鋭角の間は，交点のy座標が増加していきます。 しかも値の増え方は急激で，90∘近くなると交点は遥か上方にあります。

θがちょうど90∘になると，原点と円周上の点を結ぶ直線は，直線x=1と平行になってしまうので，交点がありません。 なのでtan⁡90∘は定義されていません。

θが90∘を超え鈍角になると，今度は交点が遥か下方から現れます。 そしてtan⁡θは急激に増加していきます。 したがって，tan⁡θは鋭角でも鈍角でも単調増加です。

tan⁡θはずっと増加し続けているのに，鋭角では正の値，鈍角では負の値をとります。 すこし不思議な感じがしますが，これはθが90∘を超えるときに，tan⁡θが限りなく大きい値から，急に限りなく小さい値に飛ぶからですね。

以上から，解答は次のようになります。

定義域 sin⁡θ cos⁡θ tan⁡θ
鋭角 + − +
鈍角 − − +