三角比の相互関係を使います。 どの関係式がどの三角比を求めるのに役立つかは，式中にどの三角比が登場するかを見れば分かります。

1. \(\sin\theta\)が分かっているので，次の関係式から\(\cos\theta\)を求められます。 \(\theta\)が鈍角であることから，\(\cos\theta < 0\)であることに注意しましょう。

   \( \begin{align} \sin^2\theta + \cos^2\theta &= 1 \\[5pt] \cos^2\theta &= 1 - \sin^2\theta \\[5pt] &= 1 - \displaystyle\frac{1}{5} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{4}{5} \\[5pt] \cos\theta &= -\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}} \end{align} \)

   ２つの三角比が分かったので，残りの三角比は次の関係式で求められます。

   \( \begin{align} \tan\theta &= \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\[5pt] &= -\displaystyle\frac{1}{2} \end{align} \)

   したがって，\(\cos\theta = -\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\)，\(\tan\theta = -\displaystyle\frac{1}{2}\)です。

2. \(\cos\theta\)が分かっているので，次の関係式から\(\tan\theta\)を求められます。 \(\cos\theta < 0\)であることから，\(\theta\)は鈍角であり，\(\tan\theta < 0\)であることに注意しましょう。

   \( \begin{align} 1 + \tan^2\theta &= \displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta} \\[5pt] \tan^2\theta &= \displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta} - 1 \\[5pt] &= \displaystyle\frac{9}{4} - 1 \\[5pt] &= \displaystyle\frac{5}{4} \\[5pt] \tan\theta &= -\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2} \end{align} \)

   ２つの三角比が分かったので，残りの三角比は次の関係式で求められます。

   \( \begin{align} \tan\theta &= \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\[5pt] \sin\theta &= \cos\theta\tan\theta \\[5pt] &= \left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \\[5pt] &= \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3} \end{align} \)

   したがって，\(\sin\theta = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}\)，\(\tan\theta = -\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\)です。

3. \(\tan\theta\)が分かっているので，次の関係式から\(\cos\theta\)を求められます。 \(\tan\theta > 0\)であることから，\(\theta\)は鋭角であり，\(\cos\theta > 0\)であることに注意しましょう。

   \( \begin{align} 1 + \tan^2\theta &= \displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta} \\[5pt] \cos^2\theta &= \displaystyle\frac{1}{1 + \tan^2\theta} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{1}{1 + 25} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{1}{26} \\[5pt] \cos\theta &= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{26}} \end{align} \)

   ２つの三角比が分かったので，残りの三角比は次の関係式で求められます。

   \( \begin{align} \tan\theta &= \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\[5pt] \sin\theta &= \cos\theta\tan\theta \\[5pt] &= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{26}} \cdot 5 \\[5pt] &= \displaystyle\frac{5}{\sqrt{26}} \end{align} \)

   したがって，\(\sin\theta = \displaystyle\frac{5}{\sqrt{26}}\)，\(\cos\theta = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{26}}\)です。

条件の式を２乗すると\(\sin\theta\cos\theta\)が現れることに気づく必要があります。 \(a + b\)を２乗して\(ab\)をつくるという手法はよく使われます。

1. \(\sin\theta + \cos\theta = \displaystyle\frac{1}{2}\)の両辺を２乗して\(\sin\theta\cos\theta\)をつくります。 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)であることに注意してください。

   \( \begin{align} (\sin\theta + \cos\theta)^2 &= \displaystyle\frac{1}{4} \\[5pt] \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta &= \displaystyle\frac{1}{4} \\[5pt] 1 + 2\sin\theta\cos\theta &= \displaystyle\frac{1}{4} \\[5pt] 2\sin\theta\cos\theta &= -\displaystyle\frac{3}{4} \\[5pt] \textcolor{red}{\sin\theta\cos\theta} & \textcolor{red}{=} \textcolor{red}{-\displaystyle\frac{3}{8}} \end{align} \)

2. そのままでは\(\sin\theta - \cos\theta\)を求めるのは難しそうです。 しかし，２乗を計算するのは簡単です。

   \( \begin{align} &\quad (\sin\theta - \cos\theta)^2 \\[5pt] &= \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta \\[5pt] &= 1 - 2\sin\theta\cos\theta \\[5pt] &= 1 + \displaystyle\frac{3}{4} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{7}{4} \end{align} \)

   ここで，\(\sin\theta\cos\theta < 0\)であり，\(\sin\theta \geqq 0\)であることを考慮すると，\(\cos\theta < 0\)です。 したがって，\(\sin\theta - \cos\theta > 0\)ですから，題意の値は次のように決まります。

   \( \begin{align} \sin\theta - \cos\theta = \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{2} \end{align} \)

(1)は前問と同じです。 それ以降は２次方程式と結び付けた問題です。 難しい場合はここで復習しましょう。

数学Ⅱを勉強した人は，三角関数の合成の知識を使うこともできます。

1. 条件式の両辺を２乗します。 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)に気を付けましょう。

   \( \begin{align} (\sin\theta + \cos\theta)^2 &= a^2 \\[5pt] \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta &= a^2 \\[5pt] 1 + 2\sin\theta\cos\theta &= a^2 \\[5pt] 2\sin\theta\cos\theta &= a^2 - 1 \\[5pt] \textcolor{red}{\sin\theta\cos\theta} & \textcolor{red}{=} \textcolor{red}{\displaystyle\frac{a^2 - 1}{2}} \end{align} \)

2. 題意の２次方程式はいくつもありますが，最も簡単なものを考えます。 それは次の方程式ですね。

   \( \begin{align} (x -\sin\theta)(x - \cos\theta) &= 0 \\[5pt] x^2 - (\sin\theta + \cos\theta)x + \sin\theta\cos\theta &= 0 \\[5pt] x^2 - ax + \displaystyle\frac{a^2 - 1}{2} &= 0\\[5pt] \textcolor{red}{2x^2 - 2ax + a^2 - 1} & \textcolor{red}{=} \textcolor{red}{0} \end{align} \)

3. \(a\)のとりうる範囲というのは，見方を変えれば\(a\)の満たすべき条件のことです。 考察を進めていきましょう。

   例えば，\(a = 3\)という値はあり得ません。 \(0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}\)という条件から\(0 < \sin\theta < 1\)，\(0 < \cos\theta < 1\)ですね。 だから\(a = \sin\theta + \cos\theta < 2\)であり，少なくとも\(3\)になることはあり得ないのです。

   この例を見ても分かる通り，\(a\)について調べるには，\(\sin\theta\)，\(\cos\theta\)が好きなように値をとれるわけではないことに注意する必要があります。 それを考えるために使えるのが(2)でつくった方程式です。 この方程式は解が\(\sin\theta\)，\(\cos\theta\)になるようにつくったんでしたね。 方程式の左辺を\(f(x)\)としましょう。

   \( \begin{align} f(x) = 2x^2 - 2ax + a^2 - 1 \end{align} \)

   この方程式の解は\(\sin\theta\)，\(\cos\theta\)なのですから，その解は\(0 < x < 1\)の範囲に収まっていなくてはなりません。 そうなるための\(a\)の条件が，\(a\)が満たすべき条件ですね。

   つまり，方程式\(f(x) = 0\)は実数解を持ち，その解は\(0 < x < 1\)の範囲に収まる必要があるので，満たすべき条件は次の４つです。

   [1] 判別式\(\geqq 0\)
   [2] \(0 < \)\(f(x)\)の軸\(< 1\)
   [3] \(f(0) > 0\)
   [4] \(f(1) > 0\)

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   [1] 判別式を\(D\)とすると，次の不等式を解けば良いです。

   \( \begin{align} \displaystyle\frac{D}{4} &= a^2 - 2(a^2 - 1) \\[5pt] &= a^2 - 2a^2 + 2 \\[5pt] &= -a^2 + 2 \geqq 0 \end{align} \)

   これを解くと\(-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}\)です。

   [2] まずは軸を求めるために平方完成します。

   \( \begin{align} f(x) &= 2x^2 - 2ax + a^2 - 1 \\[5pt] &= 2(x^2 - ax) + a^2 - 1 \\[5pt] &= 2\left\{\left(x - \displaystyle\frac{a}{2}\right)^2 - \displaystyle\frac{a^2}{4}\right\} + a^2 - 1 \\[5pt] &= 2\left(x - \displaystyle\frac{a}{2}\right)^2 - \displaystyle\frac{a^2}{2} + a^2 - 1 \\[5pt] &= 2\left(x - \displaystyle\frac{a}{2}\right)^2 + \displaystyle\frac{a^2}{2} - 1 \end{align} \)

   これで軸が\(x = \displaystyle\frac{a}{2}\)であることが分かりましたから，次の不等式を解けば良いですね。

   \( \begin{align} 0 < \displaystyle\frac{a}{2} < 1 \\[5pt] 0 < a < 2 \end{align} \)

   [3] 次の不等式を解けば良いです。

   \( \begin{align} f(0) = a^2 - 1 > 0 \\[5pt] a < -1, \ 1 < a \end{align} \)

   [4] 次の不等式を解けば良いです。

   \( \begin{align} f(1) &= 2 - 2a + a^2 - 1 \\[5pt] &= a^2 - 2a + 1 \\[5pt] &= (a - 1)^2 > 0 \end{align} \)

   これは\(a \neq 1\)のとき常に満たされます。

   以上４つの不等式の共通範囲をとると，\(1 < a \leqq \sqrt{2}\)です。 これが\(a\)のとりうる値の範囲です。