三角比を含む方程式を解くには，直角三角形をかいて当てはまるものを探すのが基本です。

1. \(\cos\theta\)が\(-\displaystyle\frac{1}{2}\)になる状況は，下図の通りです。 直線\(x = -\displaystyle\frac{1}{2}\)を青線でかいています。 赤の角度を求めれば良いですね。

   

   補角の公式を使うと，方程式を次のように変形できます。

   \( \begin{align} \cos\theta &= -\displaystyle\frac{1}{2} \\[5pt] -\cos(180^{\circ} - \theta) &= -\displaystyle\frac{1}{2} \\[5pt] \cos(180^{\circ} - \theta) &= \displaystyle\frac{1}{2} \end{align} \)

   この式から，とりあえず\(\cos\phi\)が\(\displaystyle\frac{1}{2}\)となる鋭角の\(\phi\)を求めれば，\(\theta = 180^{\circ} - \phi\)と分かります。 直角三角形で確認すれば，\(\phi = 60^{\circ}\)であることが分かりますから，\(\theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\)です。

2. まず方程式を整理します。

   \( \begin{align} \sqrt{3}\tan\theta &= 1 \\[5pt] \tan\theta &= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \end{align} \)

   \(\tan\theta\)が\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\)になる状況は，下図の通りです。 直線\(y = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\)を青線でかいています。 赤の角度を求めれば良いですね。

   

   直角三角形で確認すれば，\(\theta = 30^{\circ}\)であることが分かります。

3. まず方程式を整理します。

   \( \begin{align} 2\sin\theta - \sqrt{3} &= 0 \\[5pt] 2\sin\theta &= \sqrt{3} \\[5pt] \sin\theta &= \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align} \)

   \(\sin\theta\)が\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)になる状況は，下図の通りです。 直線\(y = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)を青線でかいています。 赤と緑の角度を求めれば良いですね。

   

   まずは鋭角である赤の角度を求めます。 直角三角形で確認すれば，\(\theta = 60^{\circ}\)であることが分かります。 同時に緑の角度についても，補角の公式から\(\theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\)であると分かります。 したがって，\(\theta = 60^{\circ}, \ 120^{\circ}\)です。

4. \(\sin\theta\)は単位円周上の\(y\)座標です。 それが\(1\)になるのは，円の一番上の点だけですね。 したがって，\(\theta = 90^{\circ}\)であると分かります。

5. \(\cos\theta\)は単位円周上の\(x\)座標です。 それが\(1\)になるのは，円の一番右の点だけですね。 したがって，\(\theta = 0^{\circ}\)であると分かります。

6. \(\tan\theta\)が\(1\)になる状況は，下図の通りです。 直線\(y = 1\)を青線でかいています。 赤の角度を求めれば良いですね。

   

   直角三角形で確認すれば，\(\theta = 45^{\circ}\)であることが分かります。

同時に複数種類の三角比を扱うのは難しいです。 三角比の相互関係を使って，方程式を\(\sin\theta\)，\(\cos\theta\)，\(\tan\theta\)のどれかひとつだけで表すようにしましょう。 相互関係の式は次の３つでしたね。

1. \(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)の２つを使う相互関係の式を見てみましょう。 平方の形がないことを考慮すると，使えそうな関係式は２つめのものです。 方程式の両辺を\(\cos\theta\)で割れば，\(\tan\theta\)だけの方程式にできますね。

   ただし，割り算をするときには注意すべきことがあります。 \(0\)で割ってはならないということです。 \(\cos\theta = 0\)となる場合は別で考える必要があります。 \(\cos\theta\)が\(0\)となるのは，\(\theta = 90^{\circ}\)のときですが，このとき\(\sin\theta = 1\)ですから，方程式は成り立たず，この\(\theta\)は解になりません。

   次に\(\theta \neq 90^{\circ}\)の場合を考えましょう。 このときは\(\cos\theta \neq 0\)ですから，両辺を\(\cos\theta\)で割っても問題ありません。

   \( \begin{align} \sin\theta &= \cos\theta \\[5pt] \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta} &= 1 \\[5pt] \tan\theta &= 1 \end{align} \)

   ここまで変形できたら，あとは\(\tan\theta\)が\(1\)となる\(\theta\)を探すだけですね。 直角三角形で確認すれば，解が\(\theta = 45^{\circ}\)であることが分かります。

2. 方程式には\(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)が登場します。 \(\sin\theta\)が平方の形であることを考慮すると，相互関係の式の１つめが使えそうですね。

   \( \begin{align} 4\sin^2\theta - 4\cos\theta &= 5 \\[5pt] 4(1 - \cos^2\theta) - 4\cos\theta &= 5 \\[5pt] 4 - 4\cos^2\theta - 4\cos\theta &= 5 \\[5pt] 4\cos^2\theta + 4\cos\theta + 1 &= 0 \\[5pt] (2\cos\theta + 1)^2 &= 0 \\[5pt] \cos\theta &= -\displaystyle\frac{1}{2} \end{align} \)

   ここまで変形できたら，あとは\(\cos\theta\)が\(-\displaystyle\frac{1}{2}\)となる\(\theta\)を探すだけですね。 まず\(\cos\phi = \displaystyle\frac{1}{2}\)となる\(\phi\)を探すと，直角三角形で確認すれば，\(\phi = 60^{\circ}\)だとわかります。 したがって，補角の公式より，解が\(\theta = 120^{\circ}\)であることが分かります。

3. 方程式には３種類の三角比が登場します。 まずは２種類に減らしてみましょう。 相互関係の式の２つめを使えば，\(\tan\theta\)はなくすことができそうです。 分母に\(\cos\theta\)があることと，\(\tan\theta\)があることから，\(\cos\theta \neq 0\)であり，\(\theta \neq 90^{\circ}\)であることに注意です。

   \( \begin{align} 4\sin\theta - \displaystyle\frac{1}{\cos\theta} + 2\tan\theta &= 2 \\[5pt] 4\sin\theta - \displaystyle\frac{1}{\cos\theta} + 2\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta} &= 2 \\[5pt] 4\sin\theta\cos\theta - 1 + 2\sin\theta &= 2\cos\theta \\[5pt] 4\sin\theta\cos\theta + 2\sin\theta - 2\cos\theta - 1 &= 0 \end{align} \)

   分かりにくいかもしれませんが，左辺は因数分解できます。 複数の文字を含む式を因数分解するときは，まずひとつの文字について式を整理すると良いんでしたね。 一見因数分解できなさそうな式でも，一度整理して確かめるべきですね。

   \( \begin{align} 4\sin\theta\cos\theta + 2\sin\theta - 2\cos\theta - 1 &= 0 \\[5pt] 2\sin\theta(2\cos\theta + 1) - (2\cos\theta + 1) &= 0 \\[5pt] (2\sin\theta - 1)(2\cos\theta + 1) &= 0 \end{align} \)

   この方程式が満たされるのは，\(\sin\theta = \displaystyle\frac{1}{2}\)または\(\cos\theta = -\displaystyle\frac{1}{2}\)の場合です。 それぞれ解いていきましょう。 どちらの問題も，今回の本文や確認問題の中で既に解いたものですが，軽く確認しておきます。

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   まず\(\sin\theta = \displaystyle\frac{1}{2}\)となる\(\theta\)は２つあります。 \(\sin\theta\)は円周上の\(y\)座標なので，第１，第２象限の２つの点で\(\displaystyle\frac{1}{2}\)をとれるわけです。 そのうち鋭角の方は\(30^{\circ}\)で，鈍角の方は補角の公式から\(150^{\circ}\)だとわかります。

   次に\(\cos\theta = -\displaystyle\frac{1}{2}\)となる\(\theta\)を考えます。 \(\cos\theta\)は円周上の\(x\)座標ですから，それが負になるのは鈍角の１つですね。 ただし鈍角だと考えづらいので，補角の公式を利用します。 そうすれば，まず\(\cos\theta = \displaystyle\frac{1}{2}\)となる鋭角を考えればよく，それは\(60^{\circ}\)です。 したがって，補角の公式より，\(\cos\theta = -\displaystyle\frac{1}{2}\)となる\(\theta\)は\(120^{\circ}\)です。

   以上から，方程式の解は\(\theta = 30^{\circ}, \ 120^{\circ}, \ 150^{\circ}\)です。

直線の傾きと\(\tan\theta\)の間には深い関係があります。 そもそも\(\tan\theta\)は単位円の定義で登場する赤線の傾きでしたね。 下の図を見てください。

これは直線と\(x\)軸のなす角を\(\theta\)とした図です。 直線の傾きを\(m\)とすると，\(m\)は\(x\)の変化量に対する\(y\)の変化量ですね。 ところで，\(\tan\theta\)も\(x\)の変化量に対する\(y\)の変化量ですよね。 ということは，次が成り立ちます。

これは次図のように直線が右下がりの場合も同様です。 ただし，\(\theta\)のとり方に注意してください。 図のように右側からとる角のことを「\(x\)軸の正の向きとなす角」と表現します。

それでは，本題に入りましょう。 直線\(y = x\)が\(x\)軸の正の向きとなす角を\(\theta\)としましょう。 この直線となす鋭角が\(15^{\circ}\)である直線が，\(x\)軸の正の向きとなす角度は，\(\theta \pm 15^{\circ}\)の２つですね。

というわけで，\(\theta\)さえ求めれば答えが出ます。 直線\(y = x\)の傾きは\(1\)ですから，次の方程式が成り立ちます。

これを解くと\(\theta = 45^{\circ}\)です。 よって，直線\(y = x\)となす鋭角が\(15^{\circ}\)である直線が，\(x\)軸の正の向きとなす角度は\(30^{\circ}\)，\(60^{\circ}\)です。 したがって，その傾きは\(\tan30^{\circ}\)と\(\tan60^{\circ}\)，すなわち\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\)，\(\sqrt{3}\)です。