まずは単位円をかいて，条件を満たす\(\theta\)の範囲を図の中で考えます。 あとはその範囲の端での\(\theta\)の値を求めれば，不等式の解が分かります。

1. \(\cos\theta\)は単位円周上の\(x\)座標ですから，それが\(-\displaystyle\frac{1}{2}\)以上になるのは，下図のオレンジの範囲です。 それに対応する\(\theta\)の範囲は，図の赤い角度の部分ですね。

   

   \(\cos\theta\)がちょうど\(-\displaystyle\frac{1}{2}\)になるのは，\(\theta = 120^{\circ}\)のときですから，これでこの不等式の解が\(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 120^{\circ}\)であることが分かりました。

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   一応\(\cos\theta = -\displaystyle\frac{1}{2}\)となる\(\theta\)について，求め方を復習しておきます。 \(\cos\theta\)は単位円周上の\(x\)座標であり，これが負の値であることから，\(\theta\)は第２象限に来ていることが分かります。 つまり\(\theta\)は鈍角なのですが，考えづらいので，補角の公式を使って鋭角で考えます。 \(\cos\theta = \displaystyle\frac{1}{2}\)となる\(\theta\)は\(60^{\circ}\)ですね。 したがって，補角の公式より，\(\cos\theta = -\displaystyle\frac{1}{2}\)となる\(\theta\)が\(180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\)と求まるわけです。

2. まず不等式を整理します。

   \( \begin{align} \sqrt{3}\tan\theta &\geqq 1 \\[5pt] \tan\theta &\geqq \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \end{align} \)

   \(\tan\theta\)の定義はちょっと特殊でした。 原点と単位円周上の点を結ぶ線分を延長し，直線\(x = 1\)とぶつかる点の\(y\)座標を考えるんでしたね。 これが\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\)より大きくなるのは，下図のオレンジの範囲です。 それに対応する\(\theta\)は，図の赤い角度の部分ですね。

   

   ただし，\(\tan90^{\circ}\)というものは存在しないということに注意してください。 \(\theta\)が第１象限から\(90^{\circ}\)に近づくのをイメージしてください。 近づくほど\(\tan\theta\)はどんどん大きくなりますね。 しかし，\(\theta\)が\(90^{\circ}\)になると，原点と円周上の点を結ぶ直線は，直線\(x = 1\)と平行になり，両者の交点はなくなります。 したがって，\(\tan90^{\circ}\)は定義できないため，不等式の解には含められません。

   以上の点を踏まえつつ，今度はちょうど\(\tan\theta = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\)となる\(\theta\)を考えると，\(\theta = 30^{\circ}\)です。 したがって，不等式の解は\(30^{\circ} \leqq \theta < 90^{\circ}\)となります。

3. まず不等式を整理します。

   \( \begin{align} 2\sin\theta - \sqrt{3} &< 0 \\[5pt] 2\sin\theta &< \sqrt{3} \\[5pt] \sin\theta &< \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align} \)

   \(\sin\theta\)は単位円周上の\(y\)座標ですから，それが\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)未満になるのは，下図のオレンジの範囲です。 それに対応する\(\theta\)の範囲は，図の赤い角度の部分ですね。

   

   ちょうど\(\sin\theta = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)となる\(\theta\)は，\(\theta = 60^{\circ}, \ 120^{\circ}\)ですね。 鋭角の方は直角三角形をかけば分かりますし，鈍角の方は補角の公式で分かりますね。 したがって，不等式の解は，\(0^{\circ} \leqq \theta < 60^{\circ}\)，\(120^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}\)です。

4. \(\sin\theta\)は単位円周上の\(y\)座標ですから，\(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}\)のときは\(0 \leqq \sin\theta \leqq 1\)です。 よって，この値が\(1\)以上になるのは，\(\sin\theta = 1\)の場合しかありません。 このとき\(\theta = 90^{\circ}\)ですから，不等式の解は\(\theta = 90^{\circ}\)です。

5. \(\cos\theta\)は単位円周上の\(x\)座標ですから，\(-1 \leqq \cos\theta \leqq 1\)です。 よって，この値が\(1\)未満になるには，\(\cos\theta = 1\)でなければＯＫです。 \(\cos\theta = 1\)になるのは\(\theta = 0^{\circ}\)のときですから，不等式の解は\(0^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}\)です。

6. \(\tan\theta\)は，原点と単位円周上の点を結ぶ線分を延長し，直線\(x = 1\)とぶつかる点の\(y\)座標です。 これが\(1\)以下になるのは，下図のオレンジの範囲です。 それに対応する\(\theta\)は，図の赤と緑の角度の部分ですね。

   

   とはいわれても・・・図が見づらいです。 順番に確認して行きましょう。

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   第１象限の範囲（赤の部分）は問題ないと思います。 ちょうど\(\tan\theta = 1\)となるのは\(\theta = 45^{\circ}\)のときで，\(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 45^{\circ}\)の範囲では\(\tan\theta \leqq 1\)が満たされます。 次に第２象限を考えると，このとき常に\(\tan \leqq 0\)であり，不等式が満たされます。 よって，\(90^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}\)は不等式の解に含まれるわけです。 以上から，この不等式の解が\(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 45^{\circ}\)，\(90^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}\)であることが分かりました。

三角比の相互関係を使って，不等式に登場する三角比の種類を１つだけにします。 不等式なので，両辺に何かを掛けたり，両辺を何かで割るときには符号に注意してください。 負の数をかけると，不等号の向きが変わるんでしたね。

1. 次の相互関係の式を使います。

   \( \begin{align} \tan\theta = \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \end{align} \)

   不等式の両辺を\(\cos\theta\)で割れば，この相互関係の式により\(\tan\theta\)だけの不等式にできますね。 しかし\(0\)では割れないことや，負の数で割ると不等式の向きが変わることに注意が必要です。

   [1] まず\(\cos\theta = 0\)の場合を考えます。 このとき不等式の両辺を\(\cos\theta\)で割ることはできませんから，不等式が成り立つか個別に確かめる必要があります。 このとき\(\theta = 90^{\circ}\)ですから，\(\sin\theta = 1\)であり，不等式は成り立ちません。 したがって，\(\theta = 90^{\circ}\)は不等式の解に含まれません。

   [2] 次に\(\cos\theta > 0\)の場合を考えます。 このとき，\(0^{\circ} \leqq \theta < 90^{\circ}\)ですね。 不等式の両辺を\(\cos\theta\)で割ると，次のようになります。

   \( \begin{align} \sin\theta &\leqq \cos\theta \\[5pt] \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta} &\leqq 1 \\[5pt] \tan\theta &\leqq 1 \end{align} \)

   \(0^{\circ} \leqq \theta < 90^{\circ}\)であることを考慮すると，不等式を満たすのは\(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 45^{\circ}\)のときだけですね。

   

   [3] 最後に\(\cos\theta < 0\)の場合を考えます。 このとき，\(90^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}\)ですね。 不等式の両辺を\(\cos\theta\)で割ると，不等号の向きが変わって次のようになります。

   \( \begin{align} \sin\theta &\leqq \cos\theta \\[5pt] \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta} &\geqq 1 \\[5pt] \tan\theta &\geqq 1 \end{align} \)

   しかし，\(90^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}\)であることを考慮すると，\(\tan\theta \leqq 0\)であるはずですから，不等式を満たす\(\theta\)は存在しません。

   以上から，この不等式の解は\(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 45^{\circ}\)です。

2. 次の相互関係の式を使います。

   \( \begin{align} \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \end{align} \)

   これを使えば，\(\sin^2\theta\)を\(\cos^2\theta\)で表し，不等式を\(\cos\theta\)で統一することができます。

   \( \begin{align} 4\sin^2\theta - 4\cos\theta &< 5 \\[5pt] 4(1 - \cos^2\theta) - 4\cos\theta &< 5 \\[5pt] 4 - 4\cos^2\theta - 4\cos\theta &< 5 \\[5pt] 4\cos^2\theta + 4\cos\theta + 1 &> 0 \\[5pt] (2\cos\theta + 1)^2 &> 0 \end{align} \)

   どんな実数でも２乗すれば\(0\)以上にはなりますから，不等式は\(2\cos\theta + 1 \neq 0\)でさえあれば成り立ちます。 \(2\cos\theta + 1 = 0\)，すなわち\(\cos\theta = -\displaystyle\frac{1}{2}\)となるのは\(\theta = 120^{\circ}\)のときです。 したがって，この不等式の解は\(0^{\circ} \leqq \theta < 120^{\circ}\)，\(120^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}\)です。

3. 不等式には三角比が３種類も登場しますから，まずは\(\tan\theta = \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)を使って\(\tan\theta\)を消しましょう。

   \( \begin{align} 4\sin\theta - \displaystyle\frac{1}{\cos\theta} + 2\tan\theta &> 2 \\[5pt] 4\sin\theta - \displaystyle\frac{1}{\cos\theta} + 2\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta} &> 2 \end{align} \)

   分母に\(\cos\theta\)があるので両辺に\(\cos\theta\)を掛けます。 \(0^{\circ} \leqq \theta < 90^{\circ}\)という条件から，\(\cos\theta > 0\)ですから，不等号の向きは変わりません。

   \( \begin{align} 4\sin\theta - \displaystyle\frac{1}{\cos\theta} + 2\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta} &> 2 \\[5pt] 4\sin\theta\cos\theta - 1 + 2\sin\theta &> 2\cos\theta \\[5pt] 4\sin\theta\cos\theta + 2\sin\theta - 2\cos\theta - 1 &> 0 \\[5pt] 2\sin\theta(2\cos\theta + 1) - (2\cos\theta + 1) &> 0 \\[5pt] (2\sin\theta - 1)(2\cos\theta + 1) &> 0 \end{align} \)

   \(\cos\theta > 0\)ですから，\(2\cos\theta + 1 > 0\)です。 したがって，この不等式が成り立つのは次の場合です。

   \( \begin{align} 2\sin\theta - 1 &> 0 \\[5pt] \sin\theta > \displaystyle\frac{1}{2} \end{align} \)
   

   図を見るとこの不等式は\(30^{\circ} < \theta < 150^{\circ}\)で成り立つことが分かりますが，この問題には\(0^{\circ} \leqq \theta < 90^{\circ}\)という条件があります。 したがって，この不等式の解は\(30^{\circ} < \theta < 90^{\circ}\)です。

実は前問を解く過程で出てくる不等式なのですが，\(\theta\)の範囲を広げています。 ２つの式の積が正になるのは，因数が同符号のときです。 因数が両方とも正の場合と，両方とも負の場合に分けて考えましょう。

[1] まず因数が両方とも正の場合を考えます。 次の連立不等式を解けば良いですね。

ひとつめの不等式を整理すると\(\sin\theta > \displaystyle\frac{1}{2}\)であり，これを解くと\(30^{\circ} < \theta < 150^{\circ}\)です。

ふたつめの不等式を整理すると\(\cos\theta > -\displaystyle\frac{1}{2}\)であり，これを解くと\(0^{\circ} \leqq \theta < 120^{\circ}\)です。

\(\theta\)の共通範囲をとると，この連立不等式の解が\(30^{\circ} < \theta < 120^{\circ}\)であると分かります。

[2] 次に因数が両方とも負の場合を考えます。 次の連立不等式を解けば良いですね。

ひとつめの不等式を整理すると\(\sin\theta < \displaystyle\frac{1}{2}\)であり，これを解くと\(0^{\circ} \leqq \theta < 30^{\circ}\)，\(150^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}\)です。

ふたつめの不等式を整理すると\(\cos\theta < -\displaystyle\frac{1}{2}\)であり，これを解くと\(120^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}\)です。

\(\theta\)の共通範囲をとると，この連立不等式の解が\(150^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}\)であると分かります。

[1], [2]より，この不等式の解は\(30^{\circ} < \theta < 120^{\circ}\)，\(150^{\circ} < \theta \leqq 180^{\circ}\)です。