正弦定理・余弦定理を駆使して問題を解いていきましょう。

1. ３辺の長さが与えられています。 適当に図をかいておきます。

   

   ここから角度を求めるのですが，正弦定理を使おうとすると情報が足りません。 余弦定理を使いましょう。 とりあえず\(\cos C\)を求めてみます。

   \( \begin{align} \cos C &= \displaystyle\frac{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3}} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{8 + 12 - (6 - 2\sqrt{12} + 2)}{8\sqrt{6}} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{12 + 4\sqrt{3}}{8\sqrt{6}} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{3 + \sqrt{3}}{2\sqrt{6}} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{3\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{12} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{align} \)

   \(\cos C\)が見覚えのない値になってしまいました。 これでは\(C\)を求められません。 このように，\(\cos\)を計算しても角度が分からないこともあります。 ここは諦めて別の角の\(\cos\)を計算してみましょう。

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   \(\cos A\)を計算してみます。

   \( \begin{align} \cos A &= \displaystyle\frac{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{8 + 6 - 2\sqrt{12} + 2 - 12}{8(\sqrt{3} - 1)} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{4 - 4\sqrt{3}}{8(\sqrt{3} - 1)} \\[5pt] &= -\displaystyle\frac{4(\sqrt{3} - 1)}{8(\sqrt{3} - 1)} \\[5pt] &= -\displaystyle\frac{1}{2} \end{align} \)

   これなら\(A = 120^{\circ}\)だと分かりますね。

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   次は\(B\)を求めます。 余弦定理を使っても良いですが，ここは正弦定理を使ってみましょう。

   \( \begin{align} \displaystyle\frac{a}{\sin A} &= \displaystyle\frac{b}{\sin B} \\[5pt] \sin B &= \displaystyle\frac{b}{a}\sin A \\[5pt] &= \displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\sin 120^{\circ} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align} \)

   この式から\(B\)は\(45^{\circ}\)または\(135^{\circ}\)です。 しかし，\(A = 120^{\circ}\)であることから，\(B = 135^{\circ}\)はあり得ないことが分かります。 （三角形の内角の和は\(180^{\circ}\)ですね！） したがって，\(B = 45^{\circ}\)ですね。

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   残りの角は次の計算で求められます。

   \( \begin{align} C &= 180^{\circ} - A - B \\[5pt] C &= 180^{\circ} - 120^{\circ} - 45^{\circ} \\[5pt] \textcolor{red}{C} &\textcolor{red}{=} \textcolor{red}{15^{\circ}} \end{align} \)

2. ２辺の長さとその間の角が与えられています。適当に図をかいておきます。

   

   長さが分かっている辺の対角が分かっていないので，正弦定理は使えません。 余弦定理で残りの１辺の長さを求めます。

   \( \begin{align} b^2 &= (2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cos 30^{\circ} \\[5pt] &= 8 + 6 - 8\sqrt{3} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\[5pt] &= 14 - 12 \\[5pt] &= 2 \\[5pt] \textcolor{red}{b} &\textcolor{red}{=} \textcolor{red}{\sqrt{2}} \end{align} \)

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   次は残りの２角を求めます。 正弦定理で\(A\)を求めてみましょう。

   \( \begin{align} \displaystyle\frac{b}{\sin B} &= \displaystyle\frac{a}{\sin A} \\[5pt] \sin A &= \displaystyle\frac{a}{b}\sin B \\[5pt] &= \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\sin 30^{\circ} \\[5pt] &= \sqrt{3}\cdot\displaystyle\frac{1}{2} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{3}{2} \end{align} \)

   この式から\(A\)は\(60^{\circ}\)または\(120^{\circ}\)です。 しかし，最大辺が\(c\)であることから，最大角は\(C\)であるため，\(A\)が鈍角になることはあり得ません。 （\(A\)が鈍角なら\(C\)も鈍角になり，内角の和が\(180^{\circ}\)を超えます！） したがって，\(A = 60^{\circ}\)ですね。 \(c\)が最大辺であることは，\(c = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}\)とすれば分かると思います。

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   残りの角は次の計算で求められます。

   \( \begin{align} C &= 180^{\circ} - A - B \\[5pt] C &= 180^{\circ} - 60^{\circ} - 30^{\circ} \\[5pt] \textcolor{red}{C} &\textcolor{red}{=} \textcolor{red}{90^{\circ}} \end{align} \)

3. １辺の長さと２角が与えられています。適当に図をかいておきます。

   

   三角形の内角の和は絶対に\(180^{\circ}\)ですから，残りの１角が求められます。

   \( \begin{align} B &= 180^{\circ} - A - C \\[5pt] B &= 180^{\circ} - 75^{\circ} - 60^{\circ} \\[5pt] \textcolor{red}{B} &\textcolor{red}{=} \textcolor{red}{45^{\circ}} \end{align} \)

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   残りの２辺を求めましょう。 その内のひとつめは，辺の情報が足りないので余弦定理では求められません。 正弦定理を使います。 ただし\(a\)は対角が\(75^{\circ}\)であり，三角比の値が分かりませんから，\(c\)の方を求めます。

   \( \begin{align} \displaystyle\frac{c}{\sin C} &= \displaystyle\frac{b}{\sin B} \\[5pt] c &= \displaystyle\frac{b}{\sin B} \cdot \sin C \\[5pt] &= \displaystyle\frac{4}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\[5pt] &= 4\sqrt{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\[5pt] \textcolor{red}{c} &\textcolor{red}{=} \textcolor{red}{2\sqrt{6}} \end{align} \)

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   最後に\(a\)を求めます。 対角の三角比\(\cos 75^{\circ}\)が分からないので，\(\cos B\)か\(\cos C\)を利用するように余弦定理を使いましょう。

   \( \begin{align} c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos C \\[5pt] (2\sqrt{6})^2 &= a^2 + 4^2 - 2 \cdot a \cdot 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \\[5pt] 24 &= a^2 + 16 - 4a \\[5pt] a^2 - 4a - 8 &= 0 \\[5pt] a &= -(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 + 8} \\[5pt] &= 2 \pm \sqrt{12} \\[5pt] &= 2 \pm 2\sqrt{3} \end{align} \)

   \(a > 0\)ですから，\(a = 2 + 2\sqrt{3}\)です。

4. １辺の長さ，１角，外接円の半径が与えられています。適当に図をかいておきます。

   

   外接円の半径が分かっているので，正弦定理の出番です。 \(b\)を求めてみましょう。

   \( \begin{align} \displaystyle\frac{b}{\sin B} &= 2R \\[5pt] b &= 2R \sin B \\[5pt] &= 2 \cdot 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \\[5pt] \textcolor{red}{b} &\textcolor{red}{=} \textcolor{red}{2} \end{align} \)

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   \(A\)も求められます。

   \( \begin{align} \displaystyle\frac{a}{\sin A} &= 2R \\[5pt] \sin A &= \displaystyle\frac{a}{2R} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{2 \cdot 2} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align} \)

   この式から\(A\)は\(45^{\circ}\)または\(135^{\circ}\)です。 まだどちらの可能性もあり得ますから，場合分けして考えましょう。

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   [1] \(A = 45^{\circ}\)の場合
   このとき，\(A = 45^{\circ}\)，\(C = 105^{\circ}\)ですね。 あとは\(c\)を求めるだけです。 \(C = 105^{\circ}\)の三角比の値が分かりませんから，正弦定理は使えません。 \(\cos C\)を使わずに済むように余弦定理を使いましょう。

   \( \begin{align} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\[5pt] (2\sqrt{2})^2 &= 2^2 + c^2 - 2 \cdot 2 \cdot c \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \\[5pt] 8 &= 4 + c^2 - 2\sqrt{2}c \\[5pt] c^2 - 2\sqrt{2}c - 4 &= 0 \\[5pt] c &= -(-\sqrt{2}) \pm \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 4} \\[5pt] c &= \sqrt{2} \pm \sqrt{6} \end{align} \)

   \(c > 0\)ですから，このとき\(c = \sqrt{6} + \sqrt{2}\)ですね。

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   [2] \(A = 135^{\circ}\)の場合
   このとき，\(A = 135^{\circ}\)，\(C = 15^{\circ}\)ですね。 あとは\(c\)を求めるだけです。 \(C = 15^{\circ}\)の三角比の値が分かりませんから，正弦定理は使えません。 \(\cos C\)を使わずに済むように余弦定理を使いましょう。

   \( \begin{align} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\[5pt] (2\sqrt{2})^2 &= 2^2 + c^2 - 2 \cdot 2 \cdot c \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\[5pt] 8 &= 4 + c^2 + 2\sqrt{2}c \\[5pt] c^2 + 2\sqrt{2}c - 4 &= 0 \\[5pt] c &= -\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 4} \\[5pt] c &= -\sqrt{2} \pm \sqrt{6} \end{align} \)

   \(c > 0\)ですから，このとき\(c = \sqrt{6} - \sqrt{2}\)ですね。

最大角が鋭角・直角・鈍角のどれかを考えましょう。 具体的な角度が分からなくても，\(\cos\)の符号を見れば良いです。

1. 残りの１角を求められますね。

   \( \begin{align} C &= 180^{\circ} - A - B \\[5pt] &= 180^{\circ} - 32^{\circ} - 53^{\circ} \\[5pt] &= 95^{\circ} \end{align} \)

   よって，最大角である\(C\)が鈍角ですから，これは鈍角三角形です。

2. 最大辺は\(c\)ですから，最大角は\(C\)です。 したがって，\(\cos C\)の符号を調べれば良いです。 \(\cos C\)は次の式で表せます。

   \( \begin{align} \cos C = \displaystyle\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{align} \)

   この分母は正ですから，分子の符号を調べれば良いですね。

   \( \begin{align} a^2 + b^2 - c^2 &= 2^2 + 3^2 - 4^2 \\[5pt] &= 4 + 9 - 16 \\[5pt] &= -3 \end{align} \)

   したがって，\(\cos C < 0\)ですから，この三角形は鈍角三角形です。

3. 最大辺は\(c\)ですから，最大角は\(C\)です。 したがって，\(\cos C\)の符号を調べれば良いです。 \(\cos C\)は次の式で表せます。

   \( \begin{align} \cos C = \displaystyle\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{align} \)

   この分母は正ですから，分子の符号を調べれば良いですね。

   \( \begin{align} a^2 + b^2 - c^2 &= 3^2 + 4^2 - 5^2 \\[5pt] &= 9 + 16 - 25 \\[5pt] &= 0 \end{align} \)

   したがって，\(\cos C = 0\)ですから，この三角形は直角三角形です。

4. 最大辺は\(c\)ですから，最大角は\(C\)です。 したがって，\(\cos C\)の符号を調べれば良いです。 \(\cos C\)は次の式で表せます。

   \( \begin{align} \cos C = \displaystyle\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{align} \)

   この分母は正ですから，分子の符号を調べれば良いですね。

   \( \begin{align} a^2 + b^2 - c^2 &= 4^2 + 5^2 - 6^2 \\[5pt] &= 16 + 25 - 36 \\[5pt] &= 5 \end{align} \)

   したがって，\(\cos C > 0\)ですから，この三角形は鋭角三角形です。

5. 最大角を知りたいですが，\(\sin\)の値の比しか分かりません。 正弦定理を使って，辺の情報に変換してみましょう。 正弦定理より，次の式が成り立ちます。

   \( \begin{align} \displaystyle\frac{a}{\sin A} = \displaystyle\frac{b}{\sin B} = \displaystyle\frac{c}{\sin C} \end{align} \)

   したがって，次が成り立ちます。

   \( \begin{align} a : b : c &= \sin A : \sin B : \sin C \\[5pt] &= 3 : 5 : 7 \end{align} \)

   よって，正の定数\(k\)を使って，\(a\)，\(b\)，\(c\)は次のように表せます。

   \( \begin{align} a &= 3k \\[5pt] b &= 5k \\[5pt] c &= 7k \end{align} \)

   したがって，最大辺は\(c\)ですから，最大角は\(C\)です。 具体的な角度は分かっていませんから，余弦定理で\(\cos C\)の符号を調べましょう。

   \( \begin{align} \cos C &= \displaystyle\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{(3k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{2 \cdot 3k \cdot 5k} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{9k^2 + 25k^2 - 49k^2}{30k^2} \\[5pt] &= -\displaystyle\frac{15k^2}{30k^2} \\[5pt] &= -\displaystyle\frac{1}{2} \end{align} \)

   したがって，\(\cos C < 0\)ですから，この三角形は鈍角三角形です。

まずは問題の状況を図で表してみましょう。 塔の位置を\(\mathrm{A}\)，元いた場所を\(\mathrm{B}\)，歩いた後の場所を\(\mathrm{C}\)とすると，\(\triangle \mathrm{ABC}\)ができます。 三角形の問題に帰着できそうですね。 求めたいのは\(\mathrm{AB}\)の長さです。

このままでは角度の情報が使いづらいので，下図のように三角形の内角として表します。

これで\(A = 15^{\circ}\)であることも分かりますね。 \(\mathrm{AB}\)を求めるためにはどうすれば良いでしょうか？

辺の長さが分かっているのは\(\mathrm{BC}\)のひとつだけです。 なので余弦定理は使えません。 また\(\mathrm{BC}\)の対角は\(15^{\circ}\)であり，三角比の値が分からないので正弦定理も使えません。

ここは初心に帰って，まず直角三角形をつくって三角比を使えるようにしましょう。 \(\mathrm{A}\)から\(\mathrm{BC}\)の延長線上に垂線\(\mathrm{AH}\)を下ろします。

図から\(\angle\mathrm{ACH} = 45^{\circ}\)であり，\(\triangle\mathrm{ACH}\)が直角二等辺三角形であることが分かります。 \(\mathrm{AH} = \mathrm{CH} = x\)とおいてみます。

ここで直角三角形\(\triangle\mathrm{ABH}\)に注目すると，\(\tan 30^{\circ}\)を考えることで，今ある情報を繋げられそうです。

直角三角形\(\triangle\mathrm{ABH}\)の辺の情報がはっきりしてきました。 あとは\(\mathrm{AB}\)を求めるだけですね。

以上より，元いた場所から塔までの距離は\(10\)[\(\mathrm{km}\)]です。

この問題では正弦定理・余弦定理は使いませんでした。 しかし垂線をひいて，直角三角形をつくる発想はこれら定理と同じです。 公式の暗記だけでは，この問題に対応できないかもしれませんが，考え方さえ理解していれば応用がきくわけです。