測定したデータの調整をしたいときや，複数のデータを比較するときには，変量の変換をしたいことがあります。 変換の方法や影響を学びましょう。
目次
変量の変換
モノを容器に入れて，重量計で量った重さという変量を考えます。 もしデータ収集の際に容器の重さを差し引かなければ，その値には，容器の重さという要らない情報が乗っています。
このような場合には，変量の調整をしたくなります。 この例でいえば，「元の変量\(-\)容器の重さ」という新しい変量が欲しいです。 このような変量の変換について考えましょう。
変量の変換といっても色々考えられますが，ここではシンプルな定数倍と定数の加算を考えます。 元の変量を\(x\)，変換後の変量を\(u\)としたとき，この変換はある定数\(a\)，\(b\)を用いて次のように表せます。
変量の変換は，このように何らかの計算をすれば自由に行えます。 次は変換によって何が起こるかを確認しましょう。
変換後の平均と散らばり
変量の変換によって，変量の平均と分散・標準偏差がどう変わるかを確認しておきましょう。 変換前の平均，分散，標準偏差を\(\overline{x}\)，\({s_x}^2\)，\(s_x\)，変換後のそれらを\(\overline{u}\)，\({s_u}^2\)，\(s_u\)とします。
まず平均は，変量の変換と同じように変化します。 全ての値が\(10\)減れば平均も\(10\)減るし，全ての値が倍になれば平均も倍になるわけです。 これは直感的にもそうですよね。
変量\(x\)を\(u = ax + b\)と変換したとき，平均は次のようになる。
また分散と標準偏差，つまりデータの散らばりの変化は，次の式のようになります。
変量\(x\)を\(u = ax + b\)と変換したとき，分散・標準偏差は次のようになる。
ヒストグラムを考えると理解しやすいです。 全ての値が一定値増減してもヒストグラムが移動するだけで，散らばりは変わりません。 なので\(b\)は散らばりに影響しません。
しかし，全ての値が倍になればヒストグラムは伸縮して，散らばりも倍になります。 そういうわけで\(a\)だけが分散・標準偏差に影響します。 分散は２乗を計算しているので，\(a^2\)がつきます。 実際にこの式が成り立つことは，確認問題で証明することにします。
仮平均
変量の変換を活用すれば，変量の平均を楽な計算で求めることができます。 次のデータの平均を求めてみましょう。
別に普通に計算しても良いのですが，めんどくさそうな計算はなるべく避けたいです。 そこで役立つのが仮平均の考え方です。 平均の値を大体これくらいかなー，と決めておいて，実際の値とのズレを調整する方法です。
とにかく実践してみましょう。 このデータの値は大体\(650\)とちょっとですね。 そこで仮平均を\(650\)として，データの値の\(650\)との差を見てみましょう。
この値の平均は\(12\)です。 これくらいの計算なら楽勝ですね。 というわけで，実際の平均は仮平均から，平均して\(12\)だけズレていたのですから，実際の平均は次のようになります。
仮平均を使えば，このように楽な計算で平均を求めることができます。 元の変量\(x\)から仮平均\(650\)を引いた変量\(u = x - 650\)をつくり，次の計算で元の平均を求めたわけです。
標準化
変量の変換は，変量の尺度の調整のためによく使われます。 変量の平均と標準偏差を統一して，複数のデータを比べられるようにするためです。
変量\(x\)の平均を\(\overline{x}\)，標準偏差を\(s_x\)としましょう。 このとき，次の新しい変量を考えます。
この変量の平均\(\overline{z}\)，標準偏差\(s_z\)は次のようになります。
このように変量\(x\)からその平均を引き，標準偏差で割ることで，変換後の変量\(z\)は平均\(0\)，標準偏差\(1\)の変量になります。 この\(z\)を\(x\)の標準化といいます。
例えば国語と数学のテストの点数を比べたいとき，そのまま数字の大小で比べることはできませんね。 テストの難易度が均一じゃないからです。 標準化を考えれば，値の尺度を合わせることで，この比較が可能になるわけです。
偏差値
よく聞く偏差値という言葉ですが，今ならその正体を理解できます。 標準化は，変量を平均\(0\)，標準偏差\(1\)に調整したものでした。
偏差値も似たようなもので，変量を平均\(50\)，標準偏差\(10\)に調整したものです。 標準化よりも親しみやすそうな数に調整しているだけで，標準化と大きくは変わりません。
変量\(x\)の標準化を\(z\)，偏差値を\(T\)とすると，これらは次の式で結ばれます。 \(x\)の平均を\(\overline{x}\)，標準偏差を\(s_x\)と表します。
一応，偏差値の平均\(\overline{T}\)と標準偏差\(s_T\)を確認しておきましょう。 \(z\)の平均を\(\overline{z}\)，標準偏差を\(s_z\)とします。 \(\overline{z} = 0\)，\(s_z = 1\)ですね。
ちゃんと狙い通りの平均・標準偏差に調整できていることが分かりますね。
確認問題
定数\(a\)，\(b\)を使って，変量\(x\)を\(u = ax + b\)と変換したとき，次の(1)～(2)の式が成り立つことを証明してください。 \(x\)の平均，標準偏差をそれぞれ\(\overline{x}\)，\(s_x\)と表し，\(u\)のそれらをそれぞれ\(\overline{u}\)，\(s_u\)と表すことにします。
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\(\overline{u} = a\overline{x} + b\)
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\({s_u}^2 = a^2{s_x}^2\)
答え
実際に計算してみるだけですが，文字式の計算に慣れていないと，ゴチャゴチャして混乱するかもしれません。
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変量\(x\)のデータを次のように表します。
\( \begin{align} x_1, x_2, \cdots , x_n \end{align} \)変量の\(u\)への変換によって，データは次のように変換されます。
\( \begin{align} ax_1 + b, ax_2 + b, \cdots , ax_n + b \end{align} \)このデータの総和を計算すると，次のようになります。
\( \begin{array}{r} ax_1 + b\phantom{n} \\ ax_2 + b\phantom{n} \\ \vdots\phantom{nnb} \\ \underline{+)ax_n + b\phantom{n}} \\ a(x_1 + x_2 + \cdots x_n) + nb \end{array} \)\(\overline{u}\)は，この値をデータの大きさ\(n\)で割ったものですから，次のように計算できます。
\( \begin{align} \overline{u} &= \displaystyle\frac{a(x_1 + x_2 + \cdots x_n) + nb}{n} \\[5pt] &= a\displaystyle\frac{x_1 + x_2 + \cdots x_n}{n} + b \\[5pt] &= a\overline{x} + b \end{align} \) -
(1)の結果を利用します。 \(u\)の分散\({s_u}^2\)を計算するには，まず平均\(\overline{u}\)からの偏差の２乗を考える必要があります。 例えばデータの１つめの値は次のようになります。
\( \begin{align} &\quad(ax_1 + b - \overline{u})^2 \\[5pt] &= \{ax_1 + b - (a\overline{x} + b)\}^2 \\[5pt] &= (ax_1 - a\overline{x})^2 \\[5pt] &= a^2(x_1 - \overline{x})^2 \end{align} \)分散はこれらの値の平均ですから，次のように計算できます。
\( \begin{align} {s_u}^2 &= \displaystyle\frac{a^2(x_1 - \overline{x})^2 + a^2(x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + a^2(x_n - \overline{x})^2}{n} \\[5pt] &= a^2\displaystyle\frac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2}{n} \\[5pt] &= a^2{s_x}^2 \end{align} \)
次の変量\(x\)のデータのついて，(1)～(2)に答えてください。 必要があれば，平方根は電卓を使って小数第２位まで求めてください。
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\(x\)の平均と標準偏差を求めてください。
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変量\(u = 2x - 30\)の平均と標準偏差を求めてください。
答え
変量\(x\)の平均を\(\overline{x}\)，標準偏差を\(s_x\)と表し，変量\(u\)の平均を\(\overline{u}\)，標準偏差を\(s_u\)と表します。 変換後の変量の平均と標準偏差は，元の変量での値を利用して求められます。
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まず平均を求めます。 せっかくなので仮平均を\(160\)として計算してみます。 データの値と仮平均の差は次のようになります。
\( \begin{align} 12, \ 4, \ 1, \ -2, \ 10 \end{align} \)
この平均は次のように求められます。\( \begin{align} \displaystyle\frac{12 + 4 + 1 - 2 + 10}{5} &= \displaystyle\frac{25}{5} \\[5pt] &= 5 \end{align} \)したがって，\(\overline{x}\)は次のようになります。
\( \begin{align} \overline{x} &= 160 + 5 \\[5pt] &= \textcolor{red}{165} \end{align} \)次に標準偏差を求めます。 まず偏差を一通り求めておきます。
データの値 偏差 偏差\(^2\) \(172\) \(7\) \(49\) \(164\) \(-1\) \(1\) \(161\) \(-4\) \(16\) \(158\) \(-7\) \(49\) \(170\) \(5\) \(25\) この値を使って，まず分散を求めます。
\( \begin{align} {s_x}^2 &= \displaystyle\frac{49 + 1 + 16 + 49 + 25}{5} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{140}{5} \\[5pt] &= 28 \end{align} \)これで標準偏差を求められます。
\( \begin{align} s_x &= \sqrt{28} \\[5pt] &= \textcolor{red}{5.29} \end{align} \) -
(1)の結果を利用して，まず平均を求めます。
\( \begin{align} \overline{u} &= 2\overline{x} - 30 \\[5pt] &= 2 \cdot 165 - 30 \\[5pt] &= \textcolor{red}{300} \end{align} \)次に標準偏差を求めます。
\( \begin{align} s_u &= |2|s_x \\[5pt] &= 2\sqrt{28} \\[5pt] &= \textcolor{red}{10.58} \end{align} \)
ある変量\(x\)を変換して，平均を\(m\)，標準偏差を\(d\)とする変量\(u\)を作りたいです。 どう変換すれば良いか答えてください。 \(x\)の平均を\(\overline{x}\)，標準偏差を\(s_x\)と表します。
答え
偏差値をつくったときと同様に，まず\(x\)の標準化\(z\)を考えます。 標準化は平均\(0\)，標準偏差\(1\)ですから，考えやすいですね。
変量の変換の際，定数を加減しても標準偏差は変わりませんが，変量を定数倍すると標準偏差も変わります。 したがって，標準偏差を\(d\)にするためには\(z\)を\(d\)倍または\(-d\)倍するしかありません。
\(z\)の平均が\(0\)ですから，この変量の平均は\(0\)です。 あとはこれに\(m\)を加えれば，平均を\(m\)にできます。 もちろん，\(m\)を加えることで標準偏差が\(d\)から変わってしまうことはありません。 つまり，次のような変換により，題意の変量が得られます。