学んだことをひとつずつ実践していきましょう。

1. 座標平面上に点を描くだけです。

   

2. 散布図から，負の相関関係があることが分かります。

3. 共分散を\(s_{xy}\)とします。 共分散を求めるには，偏差積の和を求める必要があります。 まずは変量\(x\)，\(y\)の平均\(\overline{x}\)，\(\overline{y}\)を求めましょう。

   \( \begin{align} \overline{x} &= \displaystyle\frac{25 + 48 + \cdots + 31}{10} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{350}{10} \\[5pt] &= 35 \\[5pt] \overline{y} &= \displaystyle\frac{7 + 4 + \cdots + 8}{10} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{60}{10} \\[5pt] &= 6 \\[5pt] \end{align} \)

   平均が分かったので，偏差と偏差積も求められます。

   番号	\(x - \overline{x}\)	\(y - \overline{y}\)	偏差積
   \(1\)	\(-10\)	\(1\)	\(-10\)
   \(2\)	\(13\)	\(-2\)	\(-26\)
   \(3\)	\(-13\)	\(2\)	\(-26\)
   \(4\)	\(4\)	\(1\)	\(4\)
   \(5\)	\(-1\)	\(0\)	\(0\)
   \(6\)	\(8\)	\(-2\)	\(-16\)
   \(7\)	\(10\)	\(-4\)	\(-40\)
   \(8\)	\(-12\)	\(3\)	\(-36\)
   \(9\)	\(5\)	\(-1\)	\(-5\)
   \(10\)	\(-4\)	\(2\)	\(-8\)

   共分散はこの偏差積の平均ですね。

   \( \begin{align} s_{xy} &= \displaystyle\frac{(-10) + (-26) + \cdots + (-8)}{10} \\[5pt] &= -\displaystyle\frac{163}{10} \\[5pt] &= \textcolor{red}{-16.3} \end{align} \)

   共分散が負ですから，散布図の見た目通り，\(x\)，\(y\)には負の相関関係があることが分かります。

4. 相関係数を\(r\)とします。 相関係数は共分散を標準偏差で割ったものです。 \(x\)，\(y\)の標準偏差\(s_x\)，\(s_y\)を求めます。 偏差は(3)で求めましたから，その２乗もすぐ求められます。

   番号	\((x - \overline{x})^2\)	\((y - \overline{y})^2\)
   \(1\)	\(100\)	\(1\)
   \(2\)	\(169\)	\(4\)
   \(3\)	\(169\)	\(4\)
   \(4\)	\(16\)	\(1\)
   \(5\)	\(1\)	\(0\)
   \(6\)	\(64\)	\(4\)
   \(7\)	\(100\)	\(16\)
   \(8\)	\(144\)	\(9\)
   \(9\)	\(25\)	\(1\)
   \(10\)	\(16\)	\(4\)

   これでまず分散を求められます。

   \( \begin{align} {s_x}^2 &= \displaystyle\frac{100 + 169 + \cdots + 16}{10} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{804}{10} \\[5pt] &= 80.4 \\[5pt] {s_y}^2 &= \displaystyle\frac{1 + 4 + \cdots + 4}{10} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{44}{10} \\[5pt] &= 4.4 \\[5pt] \end{align} \)

   分散の正の平方根が標準偏差ですから，相関係数は次のように求められます。

   \( \begin{align} r &= \displaystyle\frac{s_{xy}}{s_xs_y} \\[5pt] &= -\displaystyle\frac{16.3}{\sqrt{80.4}\sqrt{4.4}} \\[5pt] &= -\displaystyle\frac{16.3\sqrt{80.4}\sqrt{4.4}}{80.4 \times 4.4} \\[5pt] &= \textcolor{red}{-0.87} \end{align} \)

   相関係数の値は\(-1\)に近く，なかなか強い負の相関関係がありますね。 実際，散布図を見ても直線的な関係がはっきりしています。

相関係数のとる値の範囲を証明する問題です。 ヒントなしで証明するのは難しいかもしれませんが，(1)～(3)の順に追えば証明できます。

1. \(Yt^2\)，\(-2Xt\)，\(Z\)を展開すると，これらの\(i\)番目の項はそれぞれ次のようになります。

   \( \begin{align} {a_i}^2t^2, \ -2a_ib_it, \ {b_i}^2 \end{align} \)

   \(f(t)\)をこれらの項ごとにまとめると，\(i\)番目の項は次のようになります。

   \( \begin{align} {a_i}^2t^2 -2a_ib_it + {b_i}^2 = (a_it - b_i)^2 \end{align} \)

   したがって，\(f(t)\)は次のように２乗の項の和となり，常に\(0\)以上であることが分かります。

   \( \begin{align} f(t) &= (a_1t - b_1)^2 + (a_2t - b_2)^2 + \cdots + (a_nt - b_n)^2 \\[5pt] &\geqq 0 \end{align} \)

2. \(Y > 0\)のとき，\(f(t)\)のグラフは下に凸の放物線ですから，これが常に\(0\)以上ということは，グラフと\(t\)軸の共有点は\(1\)個以下です。 したがって，\(f(t)\)の判別式を\(D\)とすると，次が成り立ちます。

   \( \begin{align} \displaystyle\frac{D}{4} = X^2 - YZ \leqq 0 \\[5pt] \end{align} \)

   これを変形すると，題意の不等式が成り立つことが分かります。

   \( \begin{align} X^2 \leqq YZ \end{align} \)

   また，\(Y\)は２乗の項の和であり\(0\)以上ですから，\(Y = 0\)の場合も検討する必要があります。 このとき，\(Y\)の項\({a_i}^2\)がひとつでも正なら\(Y > 0\)になってしまいますから，次が成り立ちます。

   \( \begin{align} a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0 \end{align} \)

   したがって，\(X = 0\)も成り立ち，この場合も\(X^2 \leqq YZ\)が成り立ちます。

3. 相関係数の不等式とコーシー・シュワルツの不等式を見比べると，方針が定まります。 まず相関係数の式を確認しておきましょう。 変量\(x\)，\(y\)の共分散を\(s_{xy}\)，標準偏差をそれぞれ\(s_x\)，\(s_y\)とすると，相関係数\(r\)は次の式で表されます。

   \( \begin{align} r = \displaystyle\frac{s_{xy}}{s_xs_y} \end{align} \)

   また\(s_{xy}\)，\(s_x\)，\(s_y\)は，\(x\)，\(y\)の平均をそれぞれ\(\overline{x}\)，\(\overline{y}\)とすると，次の式で表されます。

   \( \begin{align} s_{xy} = \displaystyle\frac{(x_1 - \overline{x})(y_1 - \overline{y}) + \cdots + (x_n - \overline{x})(y_n - \overline{y})}{n} \end{align} \)

   \( \begin{align} {s_x}^2 = \displaystyle\frac{(x_1 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2}{n} \end{align} \)

   \( \begin{align} {s_y}^2 = \displaystyle\frac{(y_1 - \overline{y})^2 + \cdots + (y_n - \overline{y})^2}{n} \end{align} \)

   この式とコーシー・シュワルツの不等式を見比べると，\(a_i\)，\(b_i\)に次の式を当てはめることで，相関係数に結び付けられそうです。

   \( \begin{align} a_i &= x_i - \overline{x} \\[5pt] b_i &= y_i - \overline{y} \end{align} \)

   このとき，\(X\)，\(Y\)，\(Z\)は次のようになります。

   \( \begin{align} X &= (x_1 - \overline{x})(y_1 - \overline{y}) + \cdots + (x_n - \overline{x})(y_n - \overline{y}) \\[5pt] &= ns_{xy} \end{align} \)

   \( \begin{align} Y &= (x_1 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2 \\[5pt] &= n{s_x}^2 \end{align} \)

   \( \begin{align} Y &= (y_1 - \overline{y})^2 + \cdots + (y_n - \overline{y})^2 \\[5pt] &= n{s_y}^2 \end{align} \)

   これをコーシー・シュワルツの不等式に当てはめると，次のようになります。

   \( \begin{align} (ns_{xy})^2 &\leqq (n{s_x}^2) \cdot (n{s_y}^2) \\[5pt] n^2{s_{xy}}^2 &\leqq n^2{s_x}^2{s_y}^2 \\[5pt] {s_{xy}}^2 &\leqq {s_x}^2{s_y}^2 \\[5pt] \displaystyle\frac{{s_{xy}}^2}{{s_x}^2{s_y}^2} &\leqq 1 \\[5pt] \left(\displaystyle\frac{s_{xy}}{s_xs_y}\right)^2 &\leqq 1 \\[5pt] r^2 &\leqq 1 \\[5pt] \end{align} \)

   したがって，題意の不等式が成り立ちます。

   \( \begin{align} -1 \leqq r \leqq 1 \end{align} \)