\(n\)が整数という情報を使って，\(n^2 + n\)が偶数であるという結論にたどり着くのが目的です。 どうやって結論にたどり着けば良いでしょうか？ ふたつの考え方が思いつきます。

ひとつは，\(n^2 + n\)が和の形になっていることに注目します。 整数の和が偶数になるのは，「偶数\(+\)偶数」か「奇数\(+\)奇数」の場合のみです。 どんな\(n\)に対してもこの形に落ち着くことを証明できれば良さそうです。 したがって，次のような解答例が考えられます。

\(n\)は整数であるから，\(n^2, n\)はともに整数である。 したがって，\(n^2 + n\)が偶数になるのは，\(n^2, n\)がともに偶数であるか，ともに奇数である場合のみであり，任意の整数\(n\)に対しそうなることを証明すればよい。

[1] \(n\)が偶数の場合
\(n\)は整数\(a\)を用いて\(n = 2a\)と表せる。 このとき，\(n^2 = 4a^2\)であり，\(a^2\)は整数であるから，\(n^2\)も偶数である。 したがって，\(n^2 + n\)は偶数となる。

[2] \(n\)が奇数の場合
\(n\)は整数\(a\)を用いて\(n = 2a + 1\)と表せる。 このとき，\(n^2 = 4a^2 + 4a + 1 = 2(2a^2 + 2a) + 1\)であり，\(2a^2 + 2a\)は整数であるから，\(n^2\)も奇数である。 したがって，\(n^2 + n\)は偶数となる。

以上から，任意の整数\(n\)に対し，\(n^2 + n\)は偶数である。

もうひとつは，\(n^2 + n = n(n + 1)\)と因数分解してみると，これが積の形になっていることに注目します。 整数の積が偶数になるのは，積をとる数の少なくとも片方が偶数である場合のみです。 どんな\(n\)に対してもこの形に落ち着くことを証明できれば良さそうです。 したがって，次のような解答例が考えられます。

\(n\)は整数であるから，\(n, n + 1\)はともに整数である。 したがって，\(n^2 + n = n(n + 1)\)が偶数になるのは，\(n\)または\(n + 1\)が偶数の場合であり，任意の整数\(n\)に対しそうなることを証明すればよい。

[1] \(n\)が偶数の場合
\(n^2 + n = n(n + 1)\)は偶数である。

[2] \(n\)が奇数の場合
\(n\)は整数\(a\)を用いて\(n = 2a + 1\)と表せる。 このとき，\(n + 1 = 2a + 2 = 2(a + 1)\)であり，\(a + 1\)は整数であるから，\(n + 1\)は偶数である。 したがって，\(n^2 + n = n(n + 1)\)は偶数である。

以上から，任意の整数\(n\)に対し，\(n^2 + n\)は偶数である。

「少なくとも」というのは考えづらいです。 ここは背理法を使って，「少なくとも」を「全く～でない」に変えて考えましょう。 解答例は次のようになります。

三角形の３つの内角を\(A, B, C\)とする。 三角形の内角が全て\(60^{\circ}\)未満であると仮定すると，\(0^{\circ} < A, B, C < 60^{\circ}\)である。 このとき，内角の和は\(0^{\circ} < A + B + C < 180^{\circ}\)となり，三角形の内角の和が\(180^{\circ}\)であることに矛盾する。 したがって，三角形の内角の少なくとも１つは\(60^{\circ}\)以上である。

1. 仮定には\(x^2\)，結論には\(x\)が登場しています。 このように結論の内容の方が簡単な場合，対偶をとった方が考えやすいです。 解答例は次のようになります。

   命題とその対偶の真偽は一致するため，対偶を証明すればよい。 命題の対偶は，「\(x\)が奇数ならば，\(x^2\)は奇数である」となる。

   \(x\)が奇数のとき，整数\(a\)を用いて\(x = 2a + 1\)と表せる。 このとき，\(x^2 = 4a^2 + 4a + 1 = 2(2a^2 + 2a) + 1\)であり，\(2a^2 + 2a\)は整数であるから，\(x^2\)も奇数である。 したがって，対偶は真であるから，題意の命題も真である。

2. 無理数はちょっと扱いづらい数です。 ここは背理法を使って，有理数で議論できるようにしましょう。 解答例は次のようになります。

   \(\sqrt{2}\)が無理数でないと仮定すると，\(\sqrt{2}\)は有理数であり，整数\(a, b\)を用いて\(\sqrt{2} = \displaystyle\frac{b}{a}\)と表せる。 ただし，これは既約分数である。

   式を変形すると，\(\sqrt{2}a = b\)となり，両辺を２乗すると\(2a^2 = b^2\)となる。 ここで，\(a^2\)は整数であるから，\(b^2\)は偶数であり，(1)より\(b\)も偶数である。 よって，\(b\)は整数\(n\)を用いて\(b = 2n\)と表せる。

   これを\(2a^2 = b^2\)に代入すると，\(a^2 = 2n^2\)となる。 ここで，\(n^2\)は整数であるから，\(a^2\)は偶数であり，(1)より\(a\)も偶数である。

   したがって，\(a\)と\(b\)はともに偶数であり，共通因数\(2\)をもつから，\(\displaystyle\frac{b}{a}\)が既約分数であることに矛盾する。 以上から，\(\sqrt{2}\)は無理数である。

「無限」というものを考えるのは難しそうです。 背理法を使えば，「有限」のものについて考えられるようになります。 解答例は次のようになります。

素数が有限個しか存在しないと仮定する。 素数の個数を\(n\)とし，\(a_1, a_2, \cdots, a_n\)をすべての素数とする。

ここで，\(A = a_1a_2 \cdots a_n + 1\)とすると，\(A\)はどの素数よりも大きな数であるから，\(A\)自身は素数ではなく，\(a_1, a_2, \cdots, a_n\)のいずれかで割り切れる。 しかし，\(A\)は\(a_1, a_2, \cdots, a_n\)のどれで割っても\(1\)余り，矛盾が生じる。 この矛盾は，素数が有限個とする仮定から導かれたため，素数は無限個存在する。

背理法・対偶法を使う場合については，特に難しいところはないと思います。 (3)については，仮定の式を変形して結論にもっていきます。 結論が「\(A\)または\(B\)」の形をしている場合は，「\(A\)が成り立たないならば，必ず\(B\)が成り立つ」ということを証明できればＯＫです。

1. \(xy^2 \leqq 18\)のときに，\(x > 2\)かつ\(y > 3\)であると仮定する。 このとき，\(xy^2 > 2 \cdot 3^2 = 18\)より，\(xy^2 \leqq 18\)に矛盾する。 したがって，このとき\(x \leqq 2\)または\(y \leqq 3\)である。

2. 命題の対偶をとると，「\(x > 2\)かつ\(y > 3\)ならば，\(xy^2 > 18\)である」となる。 対偶の仮定のもとでは，\(xy^2 > 2 \cdot 3^2 = 18\)であるから，この対偶は真である。 したがって，元の命題も真である。

3. \(xy^2 \leqq 18\)のとき，\(y\)の値は\(y \leqq 3\)か\(y > 3\)のいずれかである。 \(y \leqq 3\)の場合，結論が成り立つ。 \(y > 3\)の場合，\(y^2 > 0\)に注意すると，\(xy^2 \leqq 18\)から\(x \leqq \displaystyle\frac{18}{y^2} < \displaystyle\frac{18}{3^2} = 2\)となり，結論を満たす。 以上から，すべての場合に対し結論が成り立つため，命題は真である。

1. 整数を足しても小数部分は変わらないので，無理数は無理数のままだろうと見当がつきます。 解答例は次のようになります。

   命題は真である。このことを証明する。 ある整数\(a\)とある無理数\(x\)に対し，その和が有理数\(r\)になると仮定する。 このとき，\(a + x = r\)から，\(x = r - a\)である。 しかし，この等式の右辺は有理数であり，左辺が無理数であることに矛盾する。 したがって，和が有理数となるような整数と無理数の組み合わせは存在せず，整数と無理数の和は無理数となることが示された。

2. 無理数と無理数の和は無理数になるとは限りません。 最も簡単な例は，和が\(0\)になる場合です。 解答例は次のようになります。

   命題は偽である。反例としては，\(\sqrt{2}\)と\(-\sqrt{2}\)という２つの無理数の和が\(0\)という有理数になることが挙げられる。