２次関数第 2 回

２次関数のグラフ

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関数とグラフ

グラフの平行移動・対称移動

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はじめに

２次関数の簡単な応用例は，投射物の運動の記述です。 また，複雑な現象を２次関数で近似するということも行われます。 ２次関数は扱いやすい関数ですが，応用範囲が広いのです。

目次

２次関数とグラフ

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２次関数は２次式で表される関数です。 つまり，２次関数は３つの定数\(a, b, c\)を用いて次のように表せます。 ただし，\(a \neq 0\)です。（\(a = 0\)だと２次式じゃなくなります。）

\( \begin{align} y = ax^2 + bx + c \end{align} \)

ではさっそく２次関数のグラフを見ていきましょう。 最もシンプルな\(y = x^2\)のグラフは次のようになります。

これは中学でも習うグラフですね。 このグラフのように，２次関数のグラフは放物線になっています。 また，\(y = ax^2 + bx + c\)を放物線の方程式ともいいます。

補足 放物線

放物線はその名の通り，（空気抵抗などを無視した場合の話ですが）物を放り投げたときの軌道になっています。 詳しくは物理学で学びますが，今後，確認問題にも少し載せます。

\(y = ax^2 + bx + c\)の\(a\)の部分はグラフの形状に関わる部分です。 簡単な例として，\(y = x^2\)，\(y = 5x^2\)，\(y = -x^2\)，\(y = -5x^2\)のグラフを見比べてみましょう。 下図を見てください。

グラフを見ると，２つのことに気が付きます。

ひとつは，\(a\)が正のとき放物線の先端が下向きで，負の時は上向きになっていることです。 放物線が下向き（\(a > 0\)）のとき下に凸，上向き（\(a < 0\)）のとき上に凸といいます。

もうひとつは，\(a\)の絶対値が大きいほど放物線の開き具合が小さい（よりとがっている）ことです。 これは，\(a\)の絶対値が大きいとその分，関数の値の変化が急激になるからです。

\(y = ax^2 + bx + c\)の\(a\)は放物線の形状に影響しました。 では\(b, c\)は何に影響するのかというと，（\(a\)もですが）放物線の位置に影響します。 放物線の位置は，その頂点や軸で表すことができます。 次項で学びましょう。

頂点と軸

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放物線には頂点と軸があります。 下図の通り，頂点は放物線の先端，軸は放物線の真ん中を通る直線です。 もう少しちゃんと言うと，軸は放物線の対象軸，頂点は軸と放物線の交点です。

中学数学では，放物線の頂点は原点にありましたが，これからは頂点が原点にない放物線も扱います。 次の２次関数のグラフは，頂点が点\((p, q)\)である放物線になります。

\( \begin{align} y = a(x - p)^2 + q \end{align} \)

逆に言えば，２次関数のグラフの頂点がどこにあるのかは，上のように式変形すれば分かります。 その式変形が次項で学ぶ平方完成です。

補足 頂点の位置が分かる理由

どうして\(y = a(x - p)^2 + q\)のグラフの頂点が点\((p, q)\)なのかは，次回学ぶ平行移動によって理解できます。 \(y = a(x - p)^2 + q\)は\(y = ax^2\)を平行移動したものなのです。

２次関数のグラフをかくときは，必ず頂点の座標と\(y\)切片の座標は明記するようにしましょう。 \(x\)切片の座標も明記した方が良いですが，後で学ぶ２次方程式を解く必要があるので，しばらくおあずけです。

ひとつ例を見ておきましょう。 \(y = 2(x + 2)^2 + 3\)のグラフは次のようになります。 頂点が点\((-2, 3)\)，軸が直線\(x = -2\)になっていることが分かりますね。

補足 分かりにくい？

上の関数は\(y = 2\{x - (-2)\}^2 + 3\)と変形すれば，\(y = (x - p)^2 + q\)と同じ形になります。 これで頂点が点\((-2, 3)\)であると分かります。

平方完成

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２次関数が\(y = a(x - p)^2 + q\)の形で書かれていれば，放物線の頂点や軸が分かります。 この形になっていない２次関数についても，この形に式変形してやれば，放物線の頂点や軸を知ることができます。 そのような式変形を平方完成といいます。

例として，\(y = x^2 + 4x + 1\)を平方完成して，放物線の頂点と軸を求めてみましょう。 平方完成の目標は，とにかく\(x\)の式の２乗を作ることです。

なので，まずは\(x\)の１次式の２乗の公式を復習しておきます。 次の公式だけ確認しておけば十分でしょう。

\(x\)の１次式の２乗
  1. \((x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\)
  2. \((x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2\)

これから，この公式の右辺から左辺への式変形をしていきます。 ここで注目したいのが，\(x\)の係数です。 右辺の\(x\)の係数は\(2a\)ですが，左辺にはその半分である\(a\)が現れますね。

\(y = x^2 + 4x + 1\)では，\(x\)の係数は\(4\)で，その半分は\(2\)です。 なので，まずは\((x + 2)^2\)を使うことが分かります。 しかし，これをそのまま展開すると\(x^2 + 4x + 4\)となり，関数の式とは定数項が違いますね。

ここまできたら後は簡単です。 定数項のズレを調整すれば良いのです。 \((x + 2)^2\)を展開して出てくる余計な定数項\(4\)を追い払って，元の関数の定数項を使えばＯＫです。

\( \begin{align} y &= \textcolor{red}{x^2 + 4x} + 1 \\[5pt] &= \textcolor{red}{(x + 2)^2 - 4} + 1 \\[5pt] &= (x + 2)^2 - 3 \end{align} \)

これで，この関数のグラフが，点\((-2, -3)\)を頂点，直線\(x = -2\)を軸とする放物線であることが分かりました。

以上をまとめると，平方完成は次の２ステップです。

平方完成の２ステップ
  1. \(x\)の係数の半分で２乗を作る
  2. 定数項のズレを調整する

もうひとつ，\(x^2\)の係数が\(1\)じゃない場合も確認しましょう。 この場合も「定数項のズレを後で直す」方針は変わりませんが，\(x\)の係数はそのまま使えません。 次の例を見てください。

\( \begin{align} & \quad \ 2x^2 - 8x + 2 \\[5pt] &= 2(x^2 - 4x) + 2 \\[5pt] &= 2\{(x - 2)^2 - 4\} + 2 \\[5pt] &= 2(x - 2)^2 - 8 + 2 \\[5pt] &= 2(x - 2)^2 - 6 \end{align} \)

このように，\(x^2\)の係数が\(1\)じゃない場合は，むりやり\(1\)にして考えます。 そのために，上式では\(x^2\)の係数で定数項以外の項をくくっています。 定数項はどうせ後で調整するので，一緒にくくりませんでした。

あとは平方完成の２ステップを使うだけですね。

確認問題

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次の図には，以下の４つの関数のグラフが描かれています。 どのグラフがどの関数のものか，それぞれグラフ中の記号Ａ～Ｄのうちから答えてください。

  1. \(y = 2x^2 -12x + 19\)

  2. \(y = \displaystyle\frac{1}{3}x^2 -2x + 4\)

  3. \(y = -x^2 + 6x - 8\)

  4. \(y = -5x^2 + 30x - 44\)

答え

図を見ると，４つの放物線の頂点は同じです。 異なるのは，下に凸か上に凸か，また放物線の開き具合が大きいか小さいかです。 これらを比較するには，\(x^2\)の係数だけみれば十分ですね。 平方完成などは一切必要ありません。

(1)と(2)の関数は，\(x^2\)の係数が正ですから，グラフは下に凸です。 よって，それぞれＡかＢのいずれかですね。

(3)と(4)の関数は，\(x^2\)の係数が負ですから，グラフは上に凸です。 よって，それぞれＣかＤのいずれかですね。

  1. 同じく下に凸の(2)と比べると，\(x^2\)の係数の絶対値が大きいです。 よって，グラフはより開き具合が小さいＢの方です。

  2. 同じく下に凸の(1)と比べると，\(x^2\)の係数の絶対値が小さいです。 よって，グラフはより開き具合が大きいＡの方です。

  3. 同じく上に凸の(4)と比べると，\(x^2\)の係数の絶対値が小さいです。 よって，グラフはより開き具合が大きいＣの方です。

  4. 同じく上に凸の(3)と比べると，\(x^2\)の係数の絶対値が大きいです。 よって，グラフはより開き具合が小さいＤの方です。

次の関数のグラフは放物線になりますが，その頂点の座標を求めてください。

  1. \(y = x^2 + 8x - 4\)

  2. \(y = x^2 - 5x\)

  3. \(y = -x^2 + 2x + 5\)

  4. \(y = 3x^2 - x + 1\)

答え

平方完成して\(a(x - p)^2 + q\)の形に変形しましょう。 \(x\)の係数の半分を使って２乗を作り，定数項を調整します。

  1. 関数式を平方完成すると，以下のようになります。

    \( \begin{align} & \quad \ x^2 + 8x - 4 \\[5pt] &= (x + 4)^2 - 16 - 4 \\[5pt] &= (x + 4)^2 - 20 \end{align} \)

    よって，頂点の座標は\((-4, -20)\)です。

  2. 関数式を平方完成すると，以下のようになります。

    \( \begin{align} & \quad \ x^2 - 5x \\[5pt] &= \left(x - \displaystyle\frac{5}{2}\right)^2 - \displaystyle\frac{25}{4} \end{align} \)

    よって，頂点の座標は\(\left(\displaystyle\frac{5}{2}, -\displaystyle\frac{25}{4}\right)\)です。

  3. 関数式を平方完成すると，以下のようになります。

    \( \begin{align} & \quad \ -x^2 + 2x + 5 \\[5pt] &= -(x^2 - 2x) + 5 \\[5pt] &= -\{(x - 1)^2 - 1\} + 5 \\[5pt] &= -(x - 1)^2 + 6 \end{align} \)

    よって，頂点の座標は\((1, 6)\)です。

  4. 関数式を平方完成すると，以下のようになります。

    \( \begin{align} & \quad \ 3x^2 - x + 1 \\[5pt] &= 3\left(x^2 - \displaystyle\frac{1}{3}x\right) + 1 \\[5pt] &= 3\left\{\left(x - \displaystyle\frac{1}{6}\right)^2 - \displaystyle\frac{1}{36}\right\} + 1 \\[5pt] &= 3\left(x - \displaystyle\frac{1}{6}\right)^2 + \displaystyle\frac{11}{12} \end{align} \)

    よって，頂点の座標は\(\left(\displaystyle\frac{1}{6}, \displaystyle\frac{11}{12}\right)\)です。

次の関数のグラフをかいてください。 関数は前問題と同じものです。

  1. \(y = x^2 + 8x - 4\)

  2. \(y = x^2 - 5x\)

  3. \(y = -x^2 + 2x + 5\)

  4. \(y = 3x^2 - x + 1\)

答え

グラフの頂点は前問題で求めました。 あとは\(y\)切片の座標を求めて，放物線の形になるように滑らかに結びましょう。 \(y\)切片は関数式で\(x = 0\)とすれば求められますね。

  1. \(y\)切片の座標は，関数式で\(x = 0\)とすることで，\((0, -4)\)と求められます。 したがって，グラフは次のようになります。

  2. \(y\)切片の座標は，関数式で\(x = 0\)とすることで，\((0, 0)\)と求められます。 したがって，グラフは次のようになります。

  3. \(y\)切片の座標は，関数式で\(x = 0\)とすることで，\((0, 5)\)と求められます。 したがって，グラフは次のようになります。

  4. \(y\)切片の座標は，関数式で\(x = 0\)とすることで，\((0, 1)\)と求められます。 したがって，グラフは次のようになります。