２次方程式と判別式

はじめに

前回は２次方程式の解そのものを求めました。今回は，解があるのかないのか，解の個数がいくつかなどの性質を調べる方法を学びます。

前回，２次方程式の解の公式を学びました。もう一度確認してみましょう。２次方程式\(ax^2 + bx + c = 0\)の解は次の通りになります。

\( \begin{align} x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{align} \)

式中の\(\sqrt{b^2 - 4ac}\)に注目してください。根号の中は負の数であってはならないので，この式で表される実数解が存在するのは，\(b^2 - 4ac \geqq 0\)の場合だけです。

また，\(b^2 - 4ac = 0\)のときには，解が\(x = -\displaystyle\frac{b}{2a}\)ひとつだけになることも分かります。この解のことを，２つの解が同じ値になったものと考えて重解といいます。

これらのことから，２次方程式の実数解が存在するかどうか，存在するなら何個なのかは，\(b^2 - 4ac\)だけ調べれば判断できることが分かります。この式をこの２次方程式の判別式といいます。

２次方程式\(ax^2 + bx + c = 0\)の判別式と実数解の個数の関係は，次のようになります。

２次方程式を考えるとき，解そのものには興味がなくて，実数解の有無や個数だけに関心がある場合も多いです。そんなときは，この判別式を使いましょう。

補足実数解

本文で２次方程式の「実数解」という言葉を使っています。今は数の範囲を実数までしか学んでいないので，わざわざ「実数」とつける意味が分からないかもしれませんね。

実は，実数より更に広い範囲の数である「複素数」というものがあります。詳しくは数学Ⅱで学びますが，２次方程式の判別式が負のとき，実数解は０個ですが，複素数解なら２個あるのです。

そんなわけで，「解の個数」ではなく「実数解の個数」という表現を使っています。自分で解答を書くときも「実数」と付け忘れないようにしましょう。

補足派生型

\(x\)の係数が偶数である２次方程式には，派生型の解の公式がありました。判別式にも同様に派生型があります。

２次方程式\(ax^2 + 2b'x + c = 0\)の判別式を\(D\)としましょう。 \(D\)は次のように求められます。

\( \begin{align} D &= (2b')^2 - 4ac \\[5pt] &= 4b'^2 - 4ac \\[5pt] &= 4(b'^2 - ac) \end{align} \)

判別式を使うときに気になるのは，その符号だけです。符号を見るだけなら，上の式の\(4\)の部分は全くいりません。というわけで，初めから次の式だけ考えれば良いことになります。

\( \begin{align} \displaystyle\frac{D}{4} = b'^2 - 4ac \end{align} \)

このように\(x\)の係数が偶数である場合は，判別式の\(\displaystyle\frac{1}{4}\)を計算すれば，余計な\(4\)倍の計算をせずに済みます。

次の２次方程式の実数解の個数を答えてください。

答え

判別式を計算して，その符号を調べましょう。以下，判別式を\(D\)とします。

判別式を計算して符号を調べると，次の通りです。

\( \begin{align} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) \\[5pt] &= 1 + 4 \\[5pt] &= 5 > 0 \end{align} \)

よって，実数解は２個です。
判別式を計算して符号を調べると，次の通りです。

\( \begin{align} D &= (\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \displaystyle\frac{3}{4} \\[5pt] &= 3 - 3 \\[5pt] &= 0 \end{align} \)

よって，実数解は１個（重解）です。
判別式を計算して符号を調べると，次の通りです。 \(x\)の係数が偶数なので，派生型で計算してみます。

\( \begin{align} \displaystyle\frac{D}{4} &= (-1)^2 - 3 \cdot (-2) \\[5pt] &= 1 + 6 \\[5pt] &= 7 > 0 \end{align} \)

よって，実数解は２個です。
判別式を計算して符号を調べると，次の通りです。

\( \begin{align} D &= 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \\[5pt] &= 1 - 8\sqrt{2} < 0 \end{align} \)

よって，実数解は０個です。

定数\(a\)を含む次の２次方程式が重解をもつときの\(a\)の値と，そのときの重解を求めてください。

\( \begin{align} x^2 + ax + a + 1 = 0 \end{align} \)

答え

２次方程式の解の個数に関する問題なので，まず判別式を計算します。判別式を\(D\)とします。

\( \begin{align} D &= a^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a + 1) \\[5pt] &= a^2 - 4a - 4 \end{align} \)

問題の２次方程式が重解をもつということは，\(D = 0\)であるということです。よって，次の方程式が得られます。

\( \begin{align} a^2 - 4a - 4 = 0 \end{align} \)

これを解くと\(a\)が求められます。 \(a\)の係数が偶数なので，派生型の解の公式を使います。

\( \begin{align} a &= 2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 1 \cdot (-4)} \\[5pt] &= \textcolor{red}{2 \pm 2\sqrt{2}} \end{align} \)

\(a\)が求められたので，次は問題の２次方程式の重解を求めましょう。重解は，解の公式の\(\sqrt{\quad}\)の部分がなくなった形になります。 \(\sqrt{\quad}\)の中身である判別式が\(0\)だからですね。

というわけで，重解は次のようになります。

\( \begin{align} x &= -\displaystyle\frac{a}{2} \\[5pt] &= -\displaystyle\frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\[5pt] &= -1 \mp \sqrt{2} \end{align} \)

ただし，複号同順で表しています。（複号同順とは，\(\pm\)や\(\mp\)の\(+, -\)の順番に意味があるということです。）

よって，重解は\(a = 2 + 2\sqrt{2}\)のとき\(x = -1 - \sqrt{2}\)，\(a = 2 - 2\sqrt{2}\)のとき\(x = -1 + \sqrt{2}\)です。