場合の数の基本は前回学びました。 今回は，場合の数の典型的な問題をいくつか考えてみたいと思います。
目次
「～でない」の場合の数
ある場合の数を考えるとき，まず「そうならない場合の数」を考えた方が簡単なことがあります。 例を通して考えてみましょう。
\(3\)つのさいころ\(A\)，\(B\)，\(C\)を振ったとき，最低\(1\)つは\(3\)の目が出る場合は何通りあるでしょうか？ 前回学んだ考え方では，\(3\)の目が\(1\)つ出る場合，\(2\)つ出る場合，\(3\)つ出る場合に分けて考えるのですが，かなり面倒です。
「最低\(1\)つは\(3\)の目がでる場合」というのは，「\(1\)つも\(3\)の目が出ない場合」ではないということです。 ですから，次の考え方が役立ちます。
事柄\(U\)の場合の数が全体で\(u\)であり，そのうちある事柄\(A\)が起こる場合の数が\(a\)であるとする。 このとき，\(A\)が起こらない場合の数\(\overline{a}\)は，次の式で求められる。
このことは，それぞれの場合を要素とする集合を考えても分かります。 全体集合を\(U\)とする集合\(A\)に対して，その補集合\(\overline{A}\)の要素の個数は，次のように求められますね。
改めて先ほどの問題を考えてみましょう。 \(3\)つのさいころを振って，最低\(1\)つは\(3\)の目が出る場合の数ですね。
まず全体の場合の数を求めます。 それぞれのさいころの出る目は\(6\)通りありますから，全体の場合の数は次の通りです。
次に\(1\)つも\(3\)の目が出ない場合の数を求めます。 このとき，どのさいころの出る目も\(5\)通りしかありませんから，この場合の数は次の通りです。
したがって，最低\(1\)つは\(3\)の目が出る場合の数は次の通り求められます。
考えやすいように発想を転換して，楽に計算できるようにしましょう。
約数の個数と和
場合の数の典型的な問題として，約数の個数やその和の求め方を紹介しておきます。 例として\(180\)の約数の個数と，その約数の和を求めてみましょう。
何も工夫しなければ，\(1\)から\(180\)までの自然数で順に割ってみて，割り切れたものを約数として数えれば解ける問題です。 しかし，数が大きくなるとこの方法では手が付けられなくなるでしょう。
大きな数にも対応できるように，工夫して約数を数えられるようにします。 そのための初めのステップが素因数分解です。 \(180\)を素因数分解すると次の通りになります。
\(180\)の約数とは，\(180\)を割り切れる数ですね。 \(180\)を割り切れる数は，\(180\)の素因数からなる数です。 そうでない数で割ろうとしても，約分できませんね。
というわけで，約数は素因数を組み合わせてできるものだと分かりますから，約数の個数は「どの因数をいくつ使うかの選び方」の場合の数になります。 例えば，素因数\(2\)を\(1\)個，素因数\(3\)を\(2\)個使って，素因数\(5\)は使わない場合は次の約数が得られます。
同様に考えていくと，全ての約数が分かります。 先ほどの素因数\(5\)のように，「ある素因数を"使わない"」という選択肢もあることを考慮すると，素因数の組み合わせ方は次の数だけあります。
例えば素因数\(2\)の指数は\(2\)ですから，この素因数を使える個数は\(0\)個～\(2\)個の\(3\)通りですね。 このようにある素因数を使える個数は，その素因数を使わない場合も含めて「指数\(+ 1\)」通りになることに注意してください。
続いて約数の和を求めてみましょう。 先ほど見たような素因数の組み合わせが全て登場するように，うまく計算式を立てます。
「組み合わせ」から連想すべきは，分配法則です。 次のような式を立てれば，素因数の全ての組み合わせ，つまり全ての約数の和を求められます。
この式の赤・青・緑の部分は，それぞれ素因数\(2\)，\(3\)，\(5\)を使う個数のパターンを表しています。 式を分配法則で展開すると，例えば\(\textcolor{red}{2^1} \cdot \textcolor{blue}{3^1} \cdot \textcolor{green}{1}\)のように各素因数の個数を選んで組み合わせた項が登場します。 こうして全ての約数が登場することになります。
この式が全ての約数の和を表すのですから，後は計算するだけですね。
このように全ての組み合わせを登場させる場合には，分配法則やそれに似た考え方が役立ちます。
確認問題
\(3\)つのさいころ\(A\)，\(B\)，\(C\)を振ります。 このとき，次の問いに答えてください。
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偶数の目がひとつも出ない場合が何通りあるか答えてください。
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\(5\)の目がひとつも出ない場合が何通りあるか答えてください。
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出た目の積が\(10\)で割り切れる場合が何通りあるか答えてください。
答え
(1)，(2)は(3)のヒントです。 場合の数を重複して数えないように注意しましょう。
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偶数の目が出ないということは，\(1\)，\(3\)，\(5\)の目だけが出るということです。 各さいころの目の出方が\(3\)通りしかないので，場合の数は次のように求められます。
\( \begin{align} 3 \times 3 \times 3 = 27 \end{align} \)以上から，答えは\(27\)通りです。
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\(5\)の目が出ないということは，各さいころの目の出方が\(5\)通りしかないので，場合の数は次のように求められます。
\( \begin{align} 5 \times 5 \times 5 = 125 \end{align} \)以上から，答えは\(125\)通りです。
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出た目の積が\(10\)で割り切れるのは，出た目の積が\(2\)と\(5\)を約数に持つ場合です。 そうなるためには，偶数の目・\(5\)の倍数の目がそれぞれ少なくとも\(1\)つは出ていなくてはなりません。
「少なくとも～」や「最低～」という条件は考えづらいので，その否定から考えましょう。 出た目の積が\(10\)で割り切れないのは，偶数の目がひとつも出ないか，\(5\)の目がひとつも出ない場合ですね。
偶数の目がひとつも出ない場合，\(5\)の目がひとつの出ない場合が何通りかは(1)，(2)で求めました。 しかし，出た目の積が\(10\)で割り切れない場合の数を次の計算で求めることはできません。
\( \begin{align} 27 + 125 = 152 \end{align} \)前回，和の法則を学びましたね。 ２つの場合が同時に起こらないとき，そのどちらかが起こる場合の数は，それぞれの場合の数を足せば求められるという内容です。
和の法則を使うには，それぞれの場合が同時に起こらないことが必要です。 しかし，偶数の目がひとつも出ない場合，\(5\)の目がひとつも出ない場合は同時に起こることもあるため，場合の数をそのまま足してはならないのです。
ではどうすれば良いかというと，\(2\)つの場合が同時に起こる場合の数を\(2\)回重複して数えてしまっているので，その分を引いて調整すれば良いのです。 偶数も\(5\)の目も出ない場合は，さいころの出る目が\(2\)通りしかありませんから，場合の数は次の通りになります。
\( \begin{align} 2 \times 2 \times 2 = 8 \end{align} \)したがって，出た目の積が\(10\)で割り切れない場合の数は，次の通りになります。
\( \begin{align} 27 + 125 - 8 = 144 \end{align} \)また，さいころ\(3\)つの目の出方全体の場合の数は次の通りですね。
\( \begin{align} 6 \times 6 \times 6 = 216 \end{align} \)したがって，出た目の積が\(10\)で割り切れる場合の数は，次の計算の通り\(72\)通りです。
\( \begin{align} 216 - 144 = 72 \end{align} \)
\(4200\)の約数の個数と，その約数の和を求めてください。
答え
約数は素因数を組み合わせたものと考えられます。 まずは\(4200\)を素因数分解します。
素因数を組み合わせる際に，素因数\(2\)，\(3\)，\(5\)，\(7\)を使う個数は，それぞれ"使わない"という選択肢も含めて\(4\)，\(2\)，\(3\)，\(2\)通りありますから，約数の個数は次の計算で求められます。
したがって，約数は\(48\)個あります。
次に約数の和を求めます。 次の式を展開すれば，素因数の全ての組み合わせが現れますから，全ての約数の和を求められます。
したがって，約数の和は\(14880\)です。