同じ番号のカードを区別する場合なら，\(6\)枚のカードを\(1\)列に並べる方法は\(6!\)通りです。 しかし，同じ番号のカードを区別しない場合，並べ方の総数はもっと少なくなります。

例えば，同じ番号のカードには別の色を付けて区別できるようにすると，次のカードの\(2\)つの並びは別物です。

しかし，同じ番号を区別しない場合は，この\(2\)つの並びは全く同じです。 \(6!\)で計算した場合の数は，このような並びを重複して数えているのです。

円順列の場合の数を求めるとき，重複して数えた分を調整しましたね。 ここでも重複分の調整をしていきます。

まず\(2\)のカードが\(2\)枚ありますから，そこに注目します。 カードを左から順に確認するとき，\(2\)のカードの登場順は，\(2!\)通りあります。 念のため確認しておくと，次の\(2\)つの場合ですね。

このそれぞれの場合について，\(3\)のカードの並びは\(3!\)通りあります。 つまり，\(2\)のカードと\(3\)のカードの並び方は，組み合わせると次の数だけあることが分かります。

\(2\)と\(3\)のカードの並びのパターンがこれだけあるということは，\(6!\)で計算した場合の数は，この数の分だけ重複して数えた結果だということです。 したがって，重複分を取り除くと，同じ番号を区別しない場合の並び方の総数は，次の計算で求められることが分かります。

というわけで，答えは\(60\)通りでした。

円順列と数珠順列を間違えないよう気を付けましょう。

1. 机の上に並べるだけで，裏返すことはありませんから，これは円順列です。 異なる\(5\)個のものの円順列ですから，その総数は次の計算で求められ，\(24\)通りです。

   \( \begin{align} (5 - 1)! = 4! = 24 \end{align} \)

2. ブレスレットであれば裏返すことが可能であり，数珠順列の問題になります。 その総数は次の計算で求められ，\(12\)通りです。

   \( \begin{align} \displaystyle\frac{(5 - 1)!}{2} = \displaystyle\frac{24}{2} = 12 \end{align} \)

どんな順番で塗る色を確定していくかが重要です。 まず真ん中の領域の色を決めることにすると，その色の選び方は\(5\)通りです。

このとき，残りの領域（周りの部分）の塗り分けは，残りの\(4\)色をどう円形に並べるかという円順列の問題になります。 したがって，この図形の塗り分け方の総数は，次の計算で求められます。

したがって，答えは\(30\)通りです。

どんな順番で塗る色を確定していくかが重要です。 特に特定の色が必ず使われる場合には，その色が塗られる面を固定してしまうと考えやすいです。 円順列の考え方と同じですね。

どの問題も全ての色を使うので，どの色も必ずどこかの面に塗られます。 立方体は回転できるので，ある特定の色を次図のように上側の面に来るようにできます。

このように特定の色が特定の面に来るようにするルールを設ければ，ある色を上側の面に固定するという考え方ができます。

1. \(1\)つの色を塗る位置を上側の面に固定します。 残りの\(5\)色の塗り方を考えます。

   まず塗った面の反対側の面を塗ります。 残りの\(5\)色から選んで塗るので，その塗り方は\(5\)通りです。

   残りの\(4\)面はぐるっと一周しますから，その塗り方は円順列として考えられます。 数珠順列ではないことに注意してください。 上の面とその反対側の面は，異なる色で塗られていますから，例えば次のような\(2\)つの塗り方は別物になります。

   

   ちなみに，もし上の面とその反対側の面が同じ色であれば，この\(2\)つの塗り方は裏返せば一致しますから，数珠順列になります。

   さて話を戻すと，ぐるっと一周する面の塗り方は\(4\)色の円順列ですから，立方体の塗り方は次の数だけあります。

   \( \begin{align} 5 \times (4 - 1)! = 5 \times 6 = 30 \end{align} \)

   というわけで，答えは\(30\)通りです。

2. \(6\)色使う問題との違いは，色の種類が面の数より少ないことです。 このことで，\(2\)回使われる色が出てきます。 このことに注目しましょう。

   使う色が\(5\)種類だけなので，\(1\)色だけ\(2\)回使わないといけません。 \(2\)回使う色は\(5\)色から選べるので，\(5\)通りあります。

   塗り分けなので，隣り合う面が同じ色になってはいけませんから，同じ色は互いに反対側の面に塗るしかありません。 なので\(1\)組だけある同じ色を先に塗ってしまえば，後はぐるっと一周する\(4\)面を塗るだけです。

   (1)でも解説した通り，この\(4\)面の塗り方は数珠順列になります。 上の面とその反対側の面が同じ色なので，次の\(2\)つのような塗り方が，立方体を裏返すことで完全一致するのです。

   

   したがって，立方体の塗り方は次の数だけあります。

   \( \begin{align} 5 \times \displaystyle\frac{(4 - 1)!}{2} = 5 \times \displaystyle\frac{6}{2} = 15 \end{align} \)

   というわけで，答えは\(15\)通りです。

3. 色々な解き方ができます。 問題文の補足にある「組み合わせ」については，また後で学びます。

   立方体に同じ色を塗るときは，互いに反対側の面に塗るしかありません。 そうでないと同じ色を塗った面が隣り合ってしまうからです。 したがって，使える色が\(4\)色しかない場合，\(2\)回使う色が\(2\)組あります。

   逆に言えば，ある\(1\)組の向かい合う面だけが，異なる色で塗られることになります。 この向かい合う面の塗り方は，\(4\)色から\(2\)色を選ぶので，問題文の補足の通り\(6\)通りあります。

   残りのぐるっと一周する\(4\)面の塗り方は，残りの\(2\)色を交互に塗るしかありませんから，その塗り方は\(1\)通りです。 以上から，立方体の塗り方は\(6\)通りです。

   ---

   別の解き方も見てみましょう。 まずどの\(2\)色を\(2\)回使うか決めてしまいます。 その選び方は，問題文の補足の通り\(6\)通りです。

   \(2\)回使う色の\(1\)組を互いに反対側の面に塗って固定します。 残りのぐるっと一周する\(4\)面の塗り方を考えます。 この\(4\)面にも同じ色を\(1\)組塗らなければなりません。 この\(4\)面も回転できますから，この\(1\)組を塗る位置を固定することができます。

   残りの\(2\)面に残りの\(2\)色を塗るのですが，どちらの面にどちらの色を塗っても同じです。 どちらの塗り方も立方体を裏返せば一致するからです。

   以上から，立方体の塗り方は\(6\)通りです。

4. 先ほどの問題で見た通り，同じ色を\(3\)つの面に塗ることはできません。 したがって，\(3\)色とも\(2\)回ずつ使うしかなく，同じ色は互いに反対側に塗るしかありません。

   とりあえずその内の\(1\)組を適当な面とその反対側に塗りましょう。 すると，残りのぐるっと一周する\(4\)面には，残りの\(2\)色を交互に塗るしかありません。

   以上から，立方体を\(3\)色で塗り分ける場合，塗り方の自由度は一切なく，その総数は\(1\)通りしかありません。