確率第 7 回

期待値

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条件付き確率

【復習】平面図形の性質

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はじめに

確率の考え方により，どの事象がどれだけ起こりやすいか分かります。 しかし，どんな結果になりそうかを予想するには不十分です。 そこで考えるのが期待値です。

目次

確率変数

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さいころを振って出た目を\(X\)とすると，\(X\)は\(1\)～\(6\)の整数値をとります。 普通のさいころであれば，どの目も同じくらいに出やすく，どの目が出る確率も\(\displaystyle\frac{1}{6}\)です。

この\(X\)のように，とる各値に対して，その値をとる確率が与えられた変数を確率変数といいます。

確率変数がとる値と，その値をとる確率を表にしてやると，情報を整理しやすいです。 上の\(X\)の例で表を作ってみます。

\(X\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) 計
確率 \(\displaystyle\frac{1}{6}\) \(\displaystyle\frac{1}{6}\) \(\displaystyle\frac{1}{6}\) \(\displaystyle\frac{1}{6}\) \(\displaystyle\frac{1}{6}\) \(\displaystyle\frac{1}{6}\) \(1\)

当然ながら，確率の合計は\(1\)にならなければなりません。 \(1\)にならない場合，確率の計算や，\(X\)の値を全て書き出せているかを見直しましょう。

補足 連続値の場合

さいころの目はとびとびの値をとる離散値です。 ここでは離散値をとる確率変数しか扱いませんが，もちろん連続値をとる例もあります。

同一メーカー・同一種類のネジは，すべてほぼ同じ長さですが，厳密に測定すれば，ぴったり同じ長さになるとは考えられません。 この長さ\(X\)も確率変数であり，連続値をとる例です。

この場合，値をとる確率を表形式では表せないので，グラフを使って表現することになります。 離散値の場合，確率の和が\(1\)になるという条件がありましたが，連続値の場合は，積分値（グラフと\(X\)軸で囲まれた面積）が\(1\)になります。

期待値

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さて，本題の期待値ですが，これは確率変数が平均的にどんな値になるかを表す値です。 各値の出やすさ（確率）を考慮して求めます。

次の状況を考えてみましょう。 箱の中に整数\(n\)が書かれたカードを\(n\)枚ずつ入れます。（\(1 \leqq n \leqq 4\)） 箱の中を見ずにカードを\(1\)枚取り出し，その値を\(X\)とします。

この確率変数\(X\)について，とりうる値とその確率を表にまとめると，次のようになります。 （以後，表中では確率を\(P\)と略記します。）

\(X\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) 計
\(P\) \(\displaystyle\frac{1}{10}\) \(\displaystyle\frac{2}{10}\) \(\displaystyle\frac{3}{10}\) \(\displaystyle\frac{4}{10}\) \(1\)

\(X\)のとりうる値は\(1\)～\(4\)の整数で，単純に平均を求めれば，これらを足して\(4\)で割った\(2.5\)です。 しかし，\(X\)は平均的に\(2.5\)くらいの値をとると言えるでしょうか？

表中の確率を見れば分かる通り，実際には\(X\)は大きい値をとりやすくなっています。 となれば，\(1\)～\(4\)のちょうど真ん中の\(2.5\)よりも，少し大きい値が出やすいはずです。

そこで期待値\(E\)は，確率を考慮して，次のように計算します。

\( \begin{align} E &= 1 \cdot \displaystyle\frac{1}{10} + 2 \cdot \displaystyle\frac{2}{10} + 3 \cdot \displaystyle\frac{3}{10} + 4 \cdot \displaystyle\frac{4}{10} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{1 + 4 + 9 + 16}{10} \\[5pt] &= 3 \end{align} \)

つまり，「確率変数がとる値とその確率の積」の合計を期待値とします。 こうすることで，出やすい値は大きめに，出にくい値は小さめに評価され，確率変数の平均的な値となるのです。

期待値

確率変数\(X\)がとる値と，その値をとる確率が下表で与えられるとする。

\(X\) \(x_1\) \(x_2\) \(\cdots\) \(x_n\) 計
\(P\) \(p_1\) \(p_2\) \(\cdots\) \(p_n\) \(1\)

このとき，次の値\(E\)を確率変数\(X\)の期待値という。

\( \begin{align} E = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n \end{align} \)

期待値の活用

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期待値は確率変数の平均的な値です。 さいころの目\(X\)の例に戻って，さいころの目の大小で勝負することを考えてみます。

\(X\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) 計
確率 \(\displaystyle\frac{1}{6}\) \(\displaystyle\frac{1}{6}\) \(\displaystyle\frac{1}{6}\) \(\displaystyle\frac{1}{6}\) \(\displaystyle\frac{1}{6}\) \(\displaystyle\frac{1}{6}\) \(1\)

\(X\)の期待値\(E\)は次のようになります。

\( \begin{align} E &= 1 \cdot \displaystyle\frac{1}{6} + 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{6} + 3 \cdot \displaystyle\frac{1}{6} + 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{6} + 5 \cdot \displaystyle\frac{1}{6} + 6 \cdot \displaystyle\frac{1}{6}\\[5pt] &= \displaystyle\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} \\[5pt] &= 3.5 \end{align} \)

これでさいころの目は，平均的に\(3.5\)くらいになると分かりました。 これで，自分の出目が\(1\)～\(3\)なら不利，\(4\)～\(6\)なら有利だといえることが分かりますね。 （直感通りのはず！）

他にも，同じ参加費でゲームＡの賞金の期待値が，ゲームＢの賞金の期待値よりも大きければ，ゲームＡに参加した方が得だと分かります。 このように期待値は，得られる結果の目安として活用できます。

補足 さいころの目を当てる賭けなら？

さいころの出目\(X\)を当てられたら勝ち，という賭けを考えてみましょう。

期待値によると，\(X\)は平均的に\(3.5\)くらいになるわけですから，\(3\)か\(4\)あたりが出やすいでしょうか？ 違いますね。 どの目がでる確率も同じ\(\displaystyle\frac{1}{6}\)なので，どの目に賭けても変わりません。

期待値は，ピンポイントでこの値が出る！といえるものではありません。 あくまで平均的な値なので，本文で見たように，値の比較の目安などにすると良いです。

確認問題

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さいころを\(1\)個振り，出た目以上で最小の素数を\(X\)とします。 このとき，次の問いに答えてください。

  1. \(X\)のとりうる値と，その値をとる確率を表にまとめてください。

  2. \(X\)の期待値\(E\)を求めてください。

答え

期待値の簡単な問題です。 (1)の誘導がなくても解けるようにしましょう。

  1. まず，さいころの目ごとに\(X\)の値をすべて書き出します。

    さいころの目 \(X\)
    \(1\) \(2\)
    \(2\) \(2\)
    \(3\) \(3\)
    \(4\) \(5\)
    \(5\) \(5\)
    \(6\) \(7\)

    あとは\(X\)の値ごとに確率を計算して，表にまとめるだけです。

    \(X\) \(2\) \(3\) \(5\) \(7\) 計
    \(P\) \(\displaystyle\frac{2}{6}\) \(\displaystyle\frac{1}{6}\) \(\displaystyle\frac{2}{6}\) \(\displaystyle\frac{1}{6}\) \(1\)

    表中の確率は約分しても良いですが，約分しないままの方が，期待値計算が楽です。

  2. 定義通りに計算しましょう。 以下の通り，\(E = 4\)です。

    \( \begin{align} E &= 2 \cdot \displaystyle\frac{2}{6} + 3 \cdot \displaystyle\frac{1}{6} + 5 \cdot \displaystyle\frac{2}{6} + 7 \cdot \displaystyle\frac{1}{6} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{4 + 3 + 10 + 7}{6} \\[5pt] &= 4 \end{align} \)

あるコインを投げると，確率\(p\)で表が出ます。 このコインの作りは荒いので，\(p = \displaystyle\frac{1}{2}\)とは限りません。

このコインを\(3\)回投げて，表が出る回数を\(X\)とするとき，\(X\)の期待値\(E\)を\(p\)で表してください。

答え

基本にしたがって計算するだけですね。 表が出ない確率を\(q\)とすると，次が成り立ちます。

\( \begin{align} p + q = 1 \end{align} \)

また，コインを\(3\)回投げて，表が\(k\)回出る確率は，次の通りです。

\( \begin{align} {}_3 \mathrm{C}_k p^k q^{3 - k} \end{align} \)

したがって，\(X\)のとりうる値とその確率を表にまとめると，次のようになります。

\(X\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) 計
\(P\) \(q^3\) \(3pq^2\) \(3p^2q\) \(p^3\) \(1\)

これを元に期待値\(E\)を計算します。

\( \begin{align} E &= 0 \cdot q^3 + 1 \cdot 3pq^2 + 2 \cdot 3p^2q + 3 \cdot p^3 \\[5pt] &= 3p^3 + 6p^2q + 3pq^2 \\[5pt] &= 3p(p^2 + 2pq + q^2) \\[5pt] &= 3p(p + q)^2 \\[5pt] &= 3p \end{align} \)

以上から，\(E = 3p\)です。 計算の途中で\(p + q = 1\)を利用しています。

コインを投げる回数が\(n\)回なら，表が出る回数の期待値は\(np\)になります。 イメージ通りの結果だと思います。 尚、この計算には数学Ⅱの二項定理の知識が必要です。

Ｌさんが，\(1\)等，\(2\)等，ハズレのどれかの結果になるくじを主催します。 参加者は\(A\)円を参加費として支払い，くじの結果に応じて次の賞金を手にします。 （\(A > 0\)です。）

くじの結果 賞金 [円]
\(1\)等 \(2A\)
\(2\)等 \(A\)
ハズレ \(0\)

Ｌさんは受け取った参加費の\(1\)割が自分の利益になるようにしたいです。 ハズレの確率を\(\displaystyle\frac{1}{2}\)に決めた場合，\(1\)等の確率\(p\)をいくつにすれば良いか，答えてください。

ただし，Ｌさんの利益は「受け取った参加費の総額」から「支払った賞金の総額」を引いたものとします。

答え

\(1\)割の利益を得るには，参加費\(A\)円に対して，支払う賞金の平均を\(\displaystyle\frac{9}{10}A\)円に抑えれば良いです。 つまり，くじによって獲得できる賞金の期待値が\(\displaystyle\frac{9}{10}A\)になるようにすれば良いのです。

くじによって得られる賞金を\(X\)円とすると，確率変数\(X\)の値とその確率は，下表の通りになります。

\(X\) \(2A\) \(A\) \(0\) 計
\(P\) \(p\) \(\displaystyle\frac{1}{2} - p\) \(\displaystyle\frac{1}{2}\) \(1\)

上表の\(2\)等（賞金\(A\)円）の確率は，各確率の和が\(1\)になることから求められます。

\(X\)の期待値を\(E\)とすると，次のように求められます。

\( \begin{align} E &= 2A \cdot p + A \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2} - p\right) \\[5pt] &= 2pA + \displaystyle\frac{1}{2}A - pA \\[5pt] &= pA + \displaystyle\frac{1}{2}A \end{align} \)

この\(E\)が\(\displaystyle\frac{9}{10}A\)に等しければ良いですね。

\( \begin{align} E &= \displaystyle\frac{9}{10}A \\[5pt] pA + \displaystyle\frac{1}{2}A &= \displaystyle\frac{9}{10}A \\[5pt] p + \displaystyle\frac{1}{2} &= \displaystyle\frac{9}{10} \\[5pt] p &= \displaystyle\frac{2}{5} \end{align} \)

以上から，\(p = \displaystyle\frac{2}{5}\)です。