これからしばらく平面図形を解説していきますが，まずは中学校で学んだ内容の復習から始めます。 角・多角形・円といった基本的な図形の性質の確認から始めましょう。
本当は全て証明していきたいところですが，長くなってしまいますし，既に中学で扱った内容ですから割愛します。
目次
直線
まず，直線・線分・半直線について確認しておきます。 これらの使い分けができるようにしておきましょう。
どれもまっすぐな線なのですが，直線には端がなく，両側で無限に続きます。 それに対して，線分には両端があります。 例として上図に直線\(\mathrm{AB}\)，線分\(\mathrm{CD}\)を載せています。 それぞれ直線\(\mathrm{BA}\)，線分\(\mathrm{DC}\)と表しても構いません。
また，半直線は片側だけ端があり，もう片側は無限に続きます。 例として上図に半直線\(\mathrm{EF}\)を載せています。 これは\(\mathrm{FE}\)とは表せません。 必ず端のある側から書いて表します。
例えば三角形の辺は線分であり，直線ではありません。 定義域を実数全体とする関数\(y = x\)のグラフは直線であり，線分ではありません。 定義域を\(0\)以上の実数全体とする関数\(y = x\)のグラフは半直線であり，直線ではありません。
角
では角に関する性質を見ていきましょう。
角について，次が成り立つ。
- 対頂角は等しい。
- \(1\)つの直線が平行な\(2\)直線と交わるとき，同位角は等しい。 逆も成り立ち，重要。
- \(1\)つの直線が平行な\(2\)直線と交わるとき，錯角は等しい。 逆も成り立ち，重要。
対頂角の確認からしましょう。 次図のように，\(2\)直線が交われば，そこに角ができますね。
このとき，次の緑・赤の角のように向かい合う角を対頂角といいます。 対頂角は等しいです。
次に同位角・錯角について確認します。 \(1\)本の直線が\(2\)本の直線と交わるとき，次図のように\(2\)つの交点ができ，それぞれで角を考えられます。
このとき，次図の同じ色の角同士のように，同じ側にある角を同位角といいます。
また，次図の同じ色の角同士は錯角といいます。 互いに反対側の位置にあり，ちょうど同位角の対頂角が錯角です。
たまに誤解されますが，同位角・錯角は，\(1\)直線が交わる\(2\)直線が平行でない場合にも使う言葉です。 上図はまさにその例ですね。
この後確認するように，\(1\)直線が交わる\(2\)直線が平行である場合には，同位角同士，錯角同士は等しくなります。 その印象が強いからか，平行な場合のみに使う言葉だという誤解が見られます。
同位角・錯角が重要な役割を果たすのは，次のように\(1\)直線が交わる\(2\)直線が平行である場合です。 ここでは平行な\(2\)直線を\(\ell\)，\(\mathcal{m}\)とし，緑の角に対する同位角・錯角も示してあります。
このとき，同位角同士，錯角同士は等しいです。 しかも逆も成り立ちます。 つまり，同位角が等しい，または錯角が等しいことが分かれば，直線\(\ell\)と\(\mathcal{m}\)が平行であることも分かります。
三角形
次は三角形に関する性質を確認していきます。 三角形は\(3\)つの辺・角を持つ図形ですね。
三角形について，次が成り立つ。
- 内角の和は\(180^{\circ}\)である。
- 外角は，それと隣り合わない\(2\)つの内角の和に等しい。
三角形の内角の和は，いつも\(180^{\circ}\)です。 これを少し確認してみましょう。
\(3\)つの内角に次のように色を付けておきます。 これらの和が\(180^{\circ}\)になることを確認しましょう。
角度の合計を考えるのですから，\(3\)つの角を\(1\)箇所に集めて考えれば良いです。 次のように辺\(\mathrm{BC}\)を点\(\mathrm{C}\)の側に延長し，点\(\mathrm{C}\)を通り辺\(\mathrm{AB}\)と平行な直線を補助線として引きます。
なぜこんな補助線を引くかといえば，「角の移動」のためです。 前項で学んだ通り，平行線を引くことで，青・緑の角と等しい同位角や錯角を見つけることができます。 次図の青い角は等しい錯角であり，緑の角は等しい同位角です。
これで内角が\(1\)箇所に集まり，その和がちょうど半周分である\(180^{\circ}\)になることが分かりました。
さらにこの図を眺めると，角\(\mathrm{C}\)の外角が，ちょうど青と緑の角の和になっていることが分かります。 つまり，外角はそれと隣り合わない\(2\)つの内角の和に等しいわけです。
特別な三角形についても確認しておきましょう。 まずは二等辺三角形と正三角形です。
二等辺三角形・正三角形は次の性質を持つ。
- 【定義】二等辺三角形は，\(2\)辺の長さが等しい三角形である。
- 二等辺三角形の\(2\)つの底角は等しい。 逆も成り立ち，重要。
- 二等辺三角形の頂角の二等分線は，底辺を垂直に\(2\)等分する。 逆も成り立つ。
- 【定義】正三角形は，\(3\)辺の長さが等しい三角形である。
- 正三角形の内角は全て等しい。 逆も成り立ち，重要。
二等辺三角形は次のように\(2\)辺の長さが等しい三角形です。 等しい\(2\)辺の間の角を頂角，他\(2\)つの角を底角といいます。 底角と底角の間の辺は底辺です。
二等辺三角形の底角は，図の通り等しいです。 逆も成り立ち，底角が等しい三角形は，二等辺三角形です。
二等辺三角形の頂角を二等分する直線は，次図のように底辺を垂直に\(2\)等分します。 逆も成り立ち，二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は，頂角を\(2\)等分します。
正三角形についても確認しておきましょう。 これは簡単な図形で，\(3\)辺の長さが等しい三角形です。
正三角形の内角は全て等しくなります。 逆も成り立ち，内角が全て等しい三角形は，正三角形です。
直角三角形についても確認しておきましょう。 直角三角形は直角の内角をもつ三角形ですが，次の性質が重要です。
次のような角\(\mathrm{C}\)を直角とする直角三角形\(\mathrm{ABC}\)を考える。
この直角三角形について，次が成り立つ。
特に次の\(3\)つの直角三角形は，\(3\)辺の長さの比がよく知られています。 覚えておきましょう。
いずれにしても，三平方の定理が成り立っていることが分かると思います。
四角形
次は四角形に関する性質を確認していきます。 まずは重要な四角形である平行四辺形について確認します。
次のいずれかが成り立つ四角形は平行四辺形である。
- 【定義】\(2\)組の対辺がそれぞれ平行である。
- \(2\)組の対辺がそれぞれ等しい。
- \(2\)組の対角がそれぞれ等しい。
- \(1\)組の対辺が平行であり，長さが等しい。
- \(2\)本の対角線がそれぞれの中点で交わる。
また当然，平行四辺形はこれら全ての性質を持つ。
\(2\)組の対辺や\(2\)組の対角に注目すると，次の図のようになります。 対辺同士が等しい，または対角同士が等しい四角形は平行四辺形です。
また，対角線がそれぞれの中点で交わる次のような四角形も，平行四辺形です。 他\(4\)つの条件ほど直観的には分かりませんが，しっかり押さえておきましょう。
「\(2\)組の対辺がそれぞれ平行である四角形」は平行四辺形ですが，「\(1\)組の対辺が平行である」ことだけを定義とする四角形を台形といいます。
平行四辺形にもう少し条件を足すと，さらに特別な四角形になります。
特別な条件を満たす平行四辺形として，次のものがある。
- 角が全て等しいとき，長方形と呼ぶ。
- 辺の長さが全て等しいとき，ひし形と呼ぶ。
- 長方形かつひし形であるとき，正方形と呼ぶ。
全ての角が等しいとき，平行四辺形は次図のようになり，これを長方形といいます。 全ての角は直角になります。
全ての辺の長さが等しいとき，平行四辺形は次図のようになり，これをひし形といいます。
全ての角と辺の長さが等しいとき，平行四辺形は次図のようになり，これを正方形といいます。 もちろん全ての角は直角です。
長方形・ひし形について，対角線に関する性質があります。 確認しておきましょう。
長方形・ひし形について，次が成り立つ。
- 長方形の対角線の長さは等しい。 一般に逆は成り立たない。
- ひし形の対角線は垂直に交わる。 一般に逆は成り立たない。
長方形の対角線を図示すると，次のようになります。 その長さは等しいです。
ひし形の対角線を図示すると，次のようになります。 それらは垂直に交わります。
この長方形・ひし形の対角線に関する性質の逆は，一般には成り立ちません。 しかし，平行四辺形の場合に限れば，逆も成り立ちます。
平行四辺形が次の条件を満たすとき，長方形やひし形になる。
- 対角線の長さが等しいならば，長方形である。
- 対角線が垂直に交わるならば，ひし形である。
四角形を含む多角形について，もうひとつ次のことを確認しておきます。
\(n\)角形の内角の和は，次の通りになる。
また，\(n\)角形の外角の和は，\(n\)によらず次の通りになる。
この内角の和の式が凸多角形（全ての内角が\(180^{\circ}\)未満）について成り立つことは，次図のように多角形を三角形に分割することで分かります。
上図のように，凸\(n\)角形は\(n - 2\)個の三角形に分割できます。 下図を見れば分かる通り，この三角形の内角をすべて合わせると，元の多角形の内角の和が分かります。
\(1\)つの三角形の内角の和が\(180^{\circ}\)であることを使えば，多角形の内角の和の公式が分かります。 外角の和については，確認問題としておきます。
円
円に関する性質を確認していきましょう。 まず円に関する用語を確認します。
円とは，ある\(1\)点からの距離が等しい点の集まりです。 この基準となる\(1\)点を円の中心といいます。 次図の点\(\mathrm{O}\)は円の中心です。
中心の周りの曲線は円周といいます。 円周上の点はすべて，円の中心との距離が等しいです。 この距離を円の半径といいます。
次図のように，円周上の点から円の中心を通って，反対側の円周まで引いた線分を直径といいます。
円周の長さは直径に比例することが知られています。 その比を円周率といい，\(\pi\)で表します。 円周率はどの円でも一定で，次のような値です。
次図の赤い部分のように，円周の一部を弧（円弧）といいます。 この図の弧は弧\(\mathrm{AB}\)であり，\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AB}}\)と表します。
円周の一部を弧というのなら，上図の黒い部分だって弧\(\mathrm{AB}\)じゃないか！と思うかもしれません。 実際，それは正しいです。
弧の端点を決めると，上図の赤部分のような短い弧（劣弧）と黒部分のような長い弧（優弧）ができます。 どちらも弧\(\mathrm{AB}\)なのですが，数学の解答を書くときは，どちらか分かるようにしましょう。
ここでは，本文では基本的に劣弧を考え，補足で優弧の場合を見ることにします。
また，円周上に両端点をもつ線分を弦といいます。 先ほどの図に弦\(\mathrm{AB}\)を青色で追加すれば，次のようになります。
弧と弦に対して，次が成り立ちます。
長さの等しい弧に対する弦の長さは等しい。 逆は成り立たない。
これが成り立つのは納得できますね。 逆が成り立たないのは，弦に対する弧には劣弧と優弧があるからです。
次が成り立つことも押さえておきましょう。
円の弦に対して，次が成り立つ。
- 円の中心と直径でない弦の中点を通る直線は，この弦に垂直である。
- 円の中心から直径でない弦に下ろした垂線は，この弦を\(2\)等分する。
- 直径でない弦の垂直二等分線は，円の中心を通る。
この性質を文字だけで見るとややこしそうですが，どれも上図の状況です。 何が仮定で何が結論なのかが少しずつ違うだけですね。
弦の垂直二等分線が必ず円の中心を通るという事実は，あまり印象にないかもしれませんが，特に作図などで役立ちます。 覚えておきましょう。
もうひとつ，接線について確認しておきましょう。 円の接線とは次の図のように，円と\(1\)点だけを共有する直線です。 共有する\(1\)点（下図では点\(\mathrm{A}\)）を接点といいます。
円と接線について，次が成り立つことを思い出しましょう。
円の接線は，その接点を通る半径（直径）に垂直である。
逆も成り立ち，円周上の点を通る直線が，その点を通る半径（直径）に垂直であるとき，この直線はこの円の接線である。
ざっくり理解するなら，接線を弦の特殊バージョンだと考えてみましょう。 弦の中点を通る半径（直径）は，その弦に垂直でしたね。 この弦を少しずつ円の中心から遠ざけていくと，接線に近くなります。
弦がほぼ接線になったとき，弦の中点は接点になったと考えられます。 だから接線は，接点を通る半径（直径）と垂直であると考えられるのです。
中心角と円周角
弧や弦の両端は円周上の点です。 この\(2\)点から\(2\)つの半径を考えると，次図のようにその間に角ができます。 これを中心角といいます。 特にこの図の中心角は，弧\(\mathrm{AB}\)に対する中心角や弦\(\mathrm{AB}\)に対する中心角といいます。
上の図は劣弧に対する中心角ですが，優弧に対する中心角も考えられます。
中心角について，次が成り立ちます。
弧の長さは，それに対応する中心角に比例する。
中心角によって円周が分割されるイメージができれば，納得のいく内容だと思います。 ここから，等しい円周角に対する弧の長さが等しいことや，長さの等しい弧に対する円周角が等しいことも分かります。
円周上の\(2\)点（弧や弦の両端など）から中心に線分を引けば中心角ができます。 それに対して，弧\(\mathrm{AB}\)を除く円周上の\(1\)点に線分を引けば，円周角ができます。 これを弧\(\mathrm{AB}\)に対する円周角や弦\(\mathrm{AB}\)に対する円周角といいます。
上で説明した「弧に対する円周角」は，弧上以外の円周上に\(1\)点をとるものでした。 しかし円周角の本来の定義的には，弧上に\(1\)点をとっても良さそうです。 教科書にも「弧上以外から」という文言はないことが多いです。
しかし，多くの教科書・参考書では，暗黙の内に「弧上以外の円周上から\(1\)点をとる」ことになっています。 ここで説明したような円周角の理解をしておいた方が，混乱せずに済むでしょう。
上の図は劣弧に対する円周角ですが，優弧に対する円周角も考えられます。
円周角と中心角に関しては，次の円周角の定理が重要です。
円周角と中心角について，次が成り立つ。
① \(1\)つの弧に対する円周角は一定である。
② \(1\)つの弧に対する円周角は，中心角の半分の大きさである。
円周角の定理は非常に重要ですから，忘れないようにしましょう。
この内容は，先ほどの補足の通り，弧に対する円周角をとるときに，弧上以外から円周上の\(1\)点を選ぶことを前提とした書き方です。 もし弧上から\(1\)点を選んで円周角をとった場合，同じ弧に対しても円周角が等しいとは限りません。
下図のように，\(1\)点を弧上にとるか他の円周上にとるかで円周角は変わります。 円周角の定理を使うときに，円周角のとりかたを間違えないように気を付けましょう。
円周角の定理の逆も成り立ちます。 ざっくりいえば，\(4\)点からできる円周角（にあたる角）が等しければ，これらの点が同一円周上にあるという内容です。
\(2\)点\(\mathrm{X}\)，\(\mathrm{Y}\)が直線\(\mathrm{AB}\)に対して同じ側にあり，次が成り立つとき，\(4\)点\(\mathrm{A}\)，\(\mathrm{B}\)，\(\mathrm{X}\)，\(\mathrm{Y}\)は同一円周上にある。
円周角の定理からも分かりますが，次の定理も成り立ちます。 この定理もまた重要です。
直径に対する円周角は直角である。 逆も成り立ち，重要。
最後に，円の内部・周上・外部にある点について成り立つことを確認します。
円に弧\(\mathrm{AB}\)があり，直線\(\mathrm{AB}\)に対して同じ側に円内部の点\(\mathrm{I}\)，円周上の点\(\mathrm{P}\)，円外部の点\(\mathrm{E}\)があるとき，次が成り立つ。
- \(\angle\mathrm{AIB} > \angle\mathrm{APB}\)
- \(\angle\mathrm{AEB} < \angle\mathrm{APB}\)
円周角の定理を思い出すと，円周角よりも中心角の方が大きかったですね。 このことからも，円の内部の方が大きい角度，円の外部の方が小さい角度になりそうと予想できます。
中学数学の復習を証明なしの詰め込み気味で進めました。 忘れていたことがあれば，ここでしっかり復習しておきましょう！ なるべく証明の確認もしておくと，今後の練習にもなります。
確認問題
次の図で直線\(\mathrm{PQ}\)，\(\mathrm{ZW}\)は平行です。 \(\angle\mathrm{BCZ}\)を求めてください。
答え
平行線とそれに交わる線分がありますから，同位角や錯角が等しくなることを利用したいです。 しかし\(2\)本の平行線を横切る線は折れ線ですから，同位角や錯角が見当たりません。
そこで点\(\mathrm{B}\)を通り，直線\(\mathrm{PQ}\)，\(\mathrm{ZW}\)と平行な直線\(\mathrm{XY}\)を引けば，折れ線をただの線分\(2\)本に分解できます。
これで同位角や錯角を考えられます。 \(\angle\mathrm{PAB}\)と\(\angle\mathrm{YBA}\)は錯角同士なので，次が成り立ちます。
したがって，\(\angle\mathrm{YBC}\)も分かります。
\(\angle\mathrm{YBC}\)と\(\angle\mathrm{BCZ}\)も錯角同士で等しいので，\(\angle\mathrm{BCZ}\)は次の通りになることが分かります。
\(n\)角形の内角の和が\(180^{\circ} \times (n - 2)\)であることを利用して，\(n\)角形の外角の和が\(360^{\circ}\)であることを証明してください。 （凸多角形だけの場合だけでＯＫです。）
答え
\(1\)つの頂点に注目すると，そこでの内角と外角の和は\(180^{\circ}\)です。 \(n\)角形には\(n\)個の頂点がありますから，全ての内角の和を\(S\)，全ての外角の和を\(X\)とすると，次が成り立ちます。
この式は，頂点ごとに内角と外角を組み合わせて合計したと考えれば，理解できます。 内角の和の値は分かっていますから，外角の和は次のように求められます。
次の図において，四角形\(\mathrm{ABCD}\)は平行四辺形です。 点\(\mathrm{E}\)は，\(\angle\mathrm{ABC}\)の二等分線と\(\angle\mathrm{BCD}\)の二等分線の交点です。 \(\angle\mathrm{BEC}\)を求めてください。
答え
具体的な角度の情報がありませんね。 とりあえず分かっている情報を使うために，二等分している角を次のようにおきましょう。
他に分かっている情報は，四角形\(\mathrm{ABCD}\)が平行四辺形であることです。 平行四辺形の対角は等しいですから，次が成り立ちます。
四角形の内角の和は\(360^{\circ}\)ですから，次が成り立ちます。
したがって，\(\triangle\mathrm{BEC}\)に注目すると，三角形の内角の和は\(180^{\circ}\)ですから，\(\angle\mathrm{BEC}\)が求められます。
次の図で，線分\(\mathrm{AC}\)は円\(\mathrm{O}\)の直径であり，\(\mathrm{BC} = \mathrm{BD}\)です。 \(\angle\mathrm{ADB}\)を求めてください。
答え
とりあえず，円周角の定理で等しいことが分かる角を図示しておきます。 次図で同じ色の角は等しいです。
\(\angle\mathrm{ACB}\)と\(\angle\mathrm{ADB}\)は弧\(\mathrm{AB}\)に対する円周角，\(\angle\mathrm{CBD}\)と\(\angle\mathrm{CAD}\)は弧\(\mathrm{CD}\)に対する円周角なので等しいです。
また，線分\(\mathrm{AC}\)が直径であることから，タレスの定理により\(\angle\mathrm{ADC}\)が直角であることが分かります。 したがって，\(\triangle\mathrm{ADC}\)に注目すると，\(\angle\mathrm{CAD}\)が求められます。
先ほども確認した通り，円周角の定理により\(\angle\mathrm{CBD} = 64^{\circ}\)も成り立ちます。 これで二等辺三角形\(\mathrm{BCD}\)の頂角が分かりましたから，底角も分かります。 二等辺三角形の底角は等しいですから，次が成り立ちます。
これで円周角の定理より，\(\angle\mathrm{ADB} = 32^{\circ}\)であることが分かりました。
次の図で線分\(\mathrm{AB}\)と線分\(\mathrm{OC}\)は平行です。 \(\angle\mathrm{OCD}\)を求めてください。
答え
\(\angle\mathrm{OCD} = x\)とします。
平行線とそれを横切る線分がありますから，同位角・錯角の確認をしておきます。 下図の赤い角同士・青い角同士は錯角同士であり，それぞれ等しいです。
ここで\(\angle\mathrm{COB}\)が中心角であることに注目します。 それに対する弧は弧\(\mathrm{BC}\)です。
弧\(\mathrm{BC}\)に対する円周角を探すと，\(\angle\mathrm{BAC}\)があります。 したがって，赤い角は\(x\)ですから，円周角の定理により青い角が\(2x\)であることが分かります。 同じ弧に対する円周角と中心角の関係ですね。
\(\triangle\mathrm{COD}\)に注目すると，\(\angle\mathrm{ODA}\)はこの三角形の外角ですから，その角度はこの外角に隣り合わない内角の和に等しく，次が成り立ちます。
これで\(\angle\mathrm{OCD} = 23^{\circ}\)であることが分かりました。