今回は軽めの内容です。 前回学んだ三角形の成立条件の式から，\(2\)点間の最短経路を考えましょう。
目次
最短経路
\(2\)点を結ぶ最短経路はどんなものでしょうか？ 直感では，それらを結ぶ線分がそうですね。
直感だけでは不安ですから，このことを少し確認しましょう。 例えば，点\(\mathrm{A}\)から点\(\mathrm{B}\)へ向かうのに，次のように点\(\mathrm{P}\)を経由してみます。
このとき，\(\triangle\mathrm{ABP}\)に注目すると，三角不等式から次が成り立ちます。
この不等式からも，\(\mathrm{P}\)を経由せずに直接\(\mathrm{A}\)と\(\mathrm{B}\)を結ぶ線分の方が短い経路ですね。
次のように曲線経路を考えた場合はどうでしょうか？
曲線に三角不等式は使えませんが，曲線を次のような折れ線をどこまでも細かくしたものと考えれば，やはり寄り道せずに直接繋ぐ線分が最短経路だと分かります。
というわけで，次が確認できました。
\(2\)点間の最短経路は，それらを結ぶ線分である。
確認問題
四角形\(\mathrm{APQB}\)に対して，次の不等式が成り立つことを証明してください。
答え
線分\(\mathrm{PB}\)を引き，まず\(\triangle\mathrm{APB}\)に注目します。 三角不等式より，次の不等式が成り立ちます。
さらに\(\triangle\mathrm{PQB}\)に注目すると，三角不等式より次が成り立ちます。
以上の\(2\)つの不等式から，次の不等式が成り立つことが分かります。
直線状の川と\(2\)地点\(\mathrm{A}\)，\(\mathrm{B}\)があります。 川と岸の境界を直線\(\ell\)と呼ぶことにします。
今，地点\(\mathrm{A}\)にいる人は，\(\ell\)上の\(1\)点で水を汲んでから地点\(\mathrm{B}\)に向かう必要があるとします。 これを最短経路で行うためには，\(\ell\)上のどんな点で水を汲めば良いでしょうか？
答え
\(\ell\)上に\(\mathrm{AP} + \mathrm{PB}\)が最小となるような点\(\mathrm{P}\)をとるならどこか？ という問題ですね。
しかし，これは折れ線の長さを比べることになり，考えづらいです。 なぜ折れ線になってしまうのかというと，\(\mathrm{A}\)，\(\mathrm{B}\)が\(\ell\)に関して同じ側にあるからです。
これを考えやすくするため，\(\mathrm{B}\)の代わりの点\(\mathrm{B}'\)を，\(\ell\)に関して\(\mathrm{A}\)の反対側にとることを考えましょう。
川から地点\(\mathrm{B}\)に行く距離を考える代わりに，地点\(\mathrm{B}'\)に行く距離を考えるわけですから，\(\mathrm{B}'\)と\(\ell\)の距離は，\(\mathrm{B}\)と\(\ell\)の距離と等しい必要があります。 つまり，点\(\mathrm{B}'\)は\(\ell\)に関する\(\mathrm{B}\)の対称点であれば良いです。
これで\(\mathrm{AP} + \mathrm{PB}'\)を最小化する\(\mathrm{P}\)を考えれば良くなりましたが，\(\mathrm{A}\)から\(\mathrm{B}'\)に向かう際，寄り道せず一直線で向かうのが最短経路です。 したがって，点\(\mathrm{P}\)は線分\(\mathrm{AB}'\)と\(\ell\)の交点としてとるべきです。
このとき，確かに\(\mathrm{PB} = \mathrm{PB}'\)であり，\(\mathrm{AP} + \mathrm{PB} = \mathrm{AP} + \mathrm{PB}'\)ですね。
以上から，答えは「\(\ell\)に関して\(\mathrm{B}\)と対称な点\(\mathrm{B}'\)をとり，\(\ell\)と線分\(\mathrm{AB}'\)の交点で水を汲めば良い」です。