前回，円の接線について簡単な性質を学びました。 今回は円と接線に関して重要な「接弦定理」を学びます。
目次
接弦定理
円の接線と弦が作る角に関する定理が接弦定理です。 慣れないとピンと来ないかもしれませんが，まずは内容を確認してみましょう。
円周上の\(3\)点\(\mathrm{A}\)，\(\mathrm{B}\)，\(\mathrm{C}\)と点\(\mathrm{A}\)における接線を考える。 また，この接線上の，弦\(\mathrm{AB}\)に関して\(\mathrm{C}\)と反対側に点\(\mathrm{X}\)をとる。
このとき，次が成り立つ。
何だかややこしい気もしますが，とにかく上図の状況を頭に入れておきましょう。 これを文字で説明すると複雑な感じがするだけです。
イメージとしては，円周角の定理の延長のようなものと考えれば，覚えやすいです。 次図のように，\(\mathrm{C}\)と\(\mathrm{A}\)の間の弧上に点\(\mathrm{P}\)をとりましょう。 円周角の定理により，\(\angle\mathrm{ACB} = \angle\mathrm{APB}\)ですね。
\(\mathrm{P}\)をさらに\(\mathrm{A}\)に近づけていくとどうなるでしょうか？ 次図を見てください。
もう接弦定理に近い形になっていますね。 こうして\(\mathrm{P}\)をどこまでも\(\mathrm{A}\)に近づけていくと，直線\(\mathrm{PA}\)は実質\(\mathrm{A}\)での接線になり，接弦定理と同じ形になります。
こう考えれば，円周角の定理の延長のようなものとして，接弦定理を覚えられます。
では接弦定理の証明を始めましょう。 \(\angle\mathrm{BAX}\)が鋭角・直角・鈍角の場合に分けて考えます。
[1] まずは簡単な場合から始めたいので，\(\angle\mathrm{BAX}\)が直角の場合を考えましょう。
このとき，線分\(\mathrm{AB}\)は円\(\mathrm{O}\)の直径です。 ということは，タレスの定理により，\(\angle\mathrm{ACB}\)も直角であり，\(\angle\mathrm{BAX} = \angle\mathrm{ACB}\)が成り立つことが分かります。
[2] 次は\(\angle\mathrm{BAX}\)が鋭角の場合を考えます。 初めに見た図の状況ですね。 先ほど直角の場合を証明しましたから，それと同じように考えるため，次図のように直径\(\mathrm{AD}\)をかきましょう。
このとき\(\angle\mathrm{DAX}\)は，接線とその接点を通る半径のなす角なので，直角です。 また，タレスの定理により，\(\angle\mathrm{ACD}\)も直角であり，\(\angle\mathrm{DAX} = \angle\mathrm{ACD}\)が成り立ちます。
さらに，弧\(\mathrm{BD}\)に対する円周角の定理により，\(\angle\mathrm{BAD} = \angle\mathrm{BCD}\)です。
これで次のようにして，\(\angle\mathrm{BAX} = \angle\mathrm{ACB}\)が成り立つことが分かります。
[3] 最後に\(\angle\mathrm{BAX}\)が鈍角の場合を考えましょう。
このとき，\(\angle\mathrm{BAX}\)の反対側の角は鋭角になりますから，先ほど証明した鋭角の場合の接弦定理を利用できます。
接線上の，\(\mathrm{A}\)から見て\(\mathrm{X}\)の反対側に点\(\mathrm{Y}\)をとりましょう。 \(\angle\mathrm{CAY}\)は鋭角ですから，先ほど証明した鋭角の場合の接弦定理により，\(\angle\mathrm{CAY} = \angle\mathrm{ABC}\)です。
あとは\(\triangle\mathrm{ABC}\)の内角の和が\(180^{\circ}\)であることと，\(\angle\mathrm{YAX} = 180^{\circ}\)であることに注目すれば，\(\angle\mathrm{BAX} = \angle\mathrm{ACB}\)が成り立つことが分かります。
これで接弦定理が証明できました！ この定理は逆も成り立ち，重要ですから，引き続き次項で確認していきましょう。
接弦定理の逆
接弦定理の逆は，円周上の点を通る直線が，その円の接線であることを示すのに役立ちます。 その内容は，次の通りです。
円\(\mathrm{O}\)の円周上に\(3\)点\(\mathrm{A}\)，\(\mathrm{B}\)，\(\mathrm{C}\)がある状況を考える。
点\(\mathrm{A}\)を通る直線上の，弦\(\mathrm{AB}\)に関して\(\mathrm{C}\)と反対側に点\(\mathrm{X}\)をとり，次の等式が成り立つとき，この直線は円\(\mathrm{O}\)の接線である。
定理の内容だけ読むとややこしい感じですが，接弦定理が頭に入っていればすぐ理解できます。 接弦定理は接線を考えたときに角度の等式が成り立ちますが，その逆は，角度の等式が成り立つときに接線が見つかります。
証明を始めます。 接弦定理が成り立つことは先ほど証明しましたから，これをうまく活用します。 点\(\mathrm{A}\)での円\(\mathrm{O}\)の接線を引くのです。 また，この接線上の，弦\(\mathrm{AB}\)に関して\(\mathrm{C}\)と反対側に点\(\mathrm{Y}\)をとります。
上図では，元からある直線を赤い実線で，新しく追加した接線を青い点線で表しています。 この\(2\)直線が一致することを示しましょう。 （見やすさのため，図ではずらしてかいています。）
どうやってこれを示すかですが，接弦定理を利用することを考えると，\(\angle\mathrm{BAX} = \angle\mathrm{BAY}\)を示すのが簡単そうですね。 ただしこの等式を示すだけでは十分ではありません。
例えば次図の状況では，この等式は成り立つものの，\(2\)直線は一致しません。
この図で\(2\)直線が一致しないのでは，点\(\mathrm{X}\)，\(\mathrm{Y}\)が直線\(\mathrm{AB}\)に関して反対側にあるからです。 \(\angle\mathrm{BA}\Box\)を考えるとき，点\(\Box\)のとり方が\(2\)通りあることに注意する必要があります。
さて，今回の証明の場合については，点\(\mathrm{X}\)，\(\mathrm{Y}\)は，共に弦\(\mathrm{AB}\)に関して同じ側にありますから，この点はＯＫです。 両方とも弦\(\mathrm{AB}\)に関して\(\mathrm{C}\)と反対側にあるからです。 したがって，やはり\(\angle\mathrm{BAX} = \angle\mathrm{BAY}\)を示せば，\(2\)直線が一致することを示せます。
直線\(\mathrm{AY}\)は接線ですから，\(\angle\mathrm{BAY}\)については，接弦定理により\(\angle\mathrm{BAY} = \angle\mathrm{ACB}\)が成り立ちます。
ここで，仮定より\(\angle\mathrm{BAX} = \angle\mathrm{ACB}\)ですから，次の通り\(\angle\mathrm{BAX} = \angle\mathrm{BAY}\)が成り立つことが分かります。
これで\(2\)直線が一致することが分かったので，直線\(\mathrm{AX}\)は円\(\mathrm{O}\)の接線です。
接弦定理の逆は，ある直線が円の接線であることを証明するのに役立つ道具です。 使えるようにしておきましょう。
確認問題
次の図で，半直線\(\mathrm{XA}\)，\(\mathrm{XB}\)は円\(\mathrm{O}\)の接線であり，点\(\mathrm{A}\)，\(\mathrm{B}\)はそれぞれの接点です。 このとき，\(\angle\mathrm{CAB}\)を求めてください。
答え
円の外部から円に引いた接線の長さは等しいので，\(\mathrm{XA} = \mathrm{XB}\)であり，\(\triangle\mathrm{XAB}\)は二等辺三角形です。 その底角は\(\displaystyle\frac{180^{\circ} - 80^{\circ}}{2} = 50^{\circ}\)です。
さらに接弦定理により，\(\angle\mathrm{XAB} = \angle\mathrm{ACB}\)です。
\(\triangle\mathrm{CAB}\)も二等辺三角形であり，\(\angle\mathrm{CAB}\)はその底角ですから，その角度は\(\displaystyle\frac{180^{\circ} - 50^{\circ}}{2} = 65^{\circ}\)です。 以上から，\(\angle\mathrm{CAB} = 65^{\circ}\)です。
正三角形\(\mathrm{ABC}\)の辺\(\mathrm{BC}\)，\(\mathrm{CA}\)，\(\mathrm{AB}\)を\(m : n\)に内分する点をそれぞれ\(\mathrm{P}\)，\(\mathrm{Q}\)，\(\mathrm{R}\)とします。 ただし\(m\)，\(n\)は正の数です。
このとき，直線\(\mathrm{RP}\)が，\(3\)点\(\mathrm{P}\)，\(\mathrm{Q}\)，\(\mathrm{C}\)を通る円の接線であることを証明してください。
答え
まず何をすべきか，はっきりさせましょう。 円周上の点\(\mathrm{X}\)を通る直線がその円の接線であることを示すには，今のところ次の\(2\)つの方法があります。
- 直線が，\(\mathrm{X}\)を通る円の半径と垂直であることを示す。
- 直線と円の弦に対して，接弦定理の逆を利用する。
この問題では，円の中心が分からないので，半径も分かりません。 接弦定理の逆を利用した方が楽そうです。
題意を接弦定理の逆を利用して示すため，\(\angle\mathrm{RPQ} = \angle\mathrm{PCQ}\)が成り立つことを証明します。
\(\triangle\mathrm{ABC}\)は正三角形ですから，\(\angle\mathrm{PCQ} = \angle\mathrm{BCA} = 60^{\circ}\)です。 ですから，\(\angle\mathrm{RPQ} = 60^{\circ}\)を示せば良いですね。
図を見ると，\(\triangle\mathrm{PQR}\)は正三角形になりそうですね。 \(3\)頂点がバランスよく配置されているからです。 実際に正三角形であることを確認すれば，\(\angle\mathrm{RPQ} = 60^{\circ}\)も示せますね。
次図のように\(\triangle\mathrm{AQR}\)，\(\triangle\mathrm{BRP}\)，\(\triangle\mathrm{CPQ}\)に注目します。
\(\triangle\mathrm{ABC}\)の\(1\)辺の長さを\(a\)とすると，次が成り立ちます。
以上から，\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので，\(\triangle\mathrm{AQR}\)，\(\triangle\mathrm{BRP}\)，\(\triangle\mathrm{CPQ}\)は合同です。 よって，対応する辺の長さが等しいため，\(\mathrm{PQ} = \mathrm{QR} = \mathrm{RP}\)が成り立ちます。
したがって，\(\triangle\mathrm{PQR}\)は正三角形であるため，\(\angle\mathrm{RPQ} = 60^{\circ}\)です。
以上から，\(\angle\mathrm{RPQ} = \angle\mathrm{PCQ}\)であり，点\(\mathrm{C}\)と点\(\mathrm{R}\)が弦\(\mathrm{PQ}\)に関して反対側にあるため，接弦定理の逆により，直線\(\mathrm{RP}\)は\(3\)点\(\mathrm{P}\)，\(\mathrm{Q}\)，\(\mathrm{C}\)を通る円の接線です。