今回からは空間図形を学びます。 平面から空間へと舞台が変わることで，直線と直線の関係も考え直す必要があります。
目次
直線と直線の位置関係
平面図形では，直線と直線の位置関係には，大きく分けて次の\(2\)つがありました。
- \(1\)点で交わる
- 平行（交わらない）
「垂直に交わる」なども思い付くかもしれませんが，これは「\(1\)点で交わる」場合に含まれます。
さて，空間図形でも似たような位置関係が考えられそうです。 例えば，次図のような場合，直線と直線は\(1\)点で交わります。
図中の緑色の四角形は，この\(2\)直線を含む平面を表しています。 今まで考えてきた平面図形の世界を，斜め上から見たものと考えてください。
上図では，緑色の平面が有限の広さに見えますが，実際は無限に広がるものだと考えてください。
平面を図に表すとき，平面を無限に広く描いてしまうと，図の背景がすべて緑色になるだけで，もはや平面の図だと認識できなくなってしまいます。 それを防ぐために，あえて有限の広さで平面を表現するのです。
このように，空間図形とはいっても，空間の中に平面を見つけることができれば，結局平面図形と同じことが考えられます。
同様に平行も考えられます。 \(2\)直線が同じ平面上にあって，交わらないとき，それらの直線は平行であるといいます。
ここまでは\(2\)直線が同じ平面上にある場合を考えてきました。 その場合，平面図形と同じように考えられます。
しかし，\(2\)直線は必ずしも同じ平面にあるとは限りません。 次図のように，\(2\)直線が同じ平面上にないとき，それらはねじれの位置にあるといいます。
上図では，一方の直線は緑の平面上にありますが，他方はその平面上にありません。 どんな平面を考えても，これらの直線を同時に載せることはできません。
これは，もはや平面図形としては考えられません。 実際，平面図形に「ねじれの位置」なんてありませんでした。
空間図形での直線と直線の位置関係をまとめると，次のようになります。
| 位置関係 | 同一平面上 | 交点 |
|---|---|---|
| \(1\)点で交わる | ○ | ○ |
| 平行 | ○ | × |
| ねじれの位置 | × | × |
平面図形で\(2\)本の直線を考えるとき，それらのなす角が重要な情報でした。 次項ではその空間図形バージョンを考えましょう。
直線と直線のなす角
直線と直線がねじれの位置になければ，それらは同一平面上にあるのでした。 このとき，平面図形と同じように考えることができますから，それらのなす角も同一平面上で考えれば良いです。
だから空間図形でも，直線と直線が平行であるときは，それらのなす角を考えることはできません。
では，空間図形で新たに登場した「ねじれの位置」はどうでしょうか？ 次図のような場合ですね。
ねじれの位置も平行と同じく，直線と直線の交点がありません。 しかし，それらのなす角は考えられます。
一方の直線を平行移動して，もう一方の直線と交点を持つようにします。 次図の青い線は，緑の平面上にない方の直線を平行移動したものです。
このとき，青い点で交わる\(2\)本の直線は，同一平面上にありますから，それらのなす角を考えられます。 次図は，この\(2\)直線とそれらの同一平面を図示したものです。
少し角度を変えて，平行移動前の直線も見えるようにすると，次図のようになります。
このように空間図形では，直線が直接交わっていなくても，平行移動して\(1\)点で交わるのなら，それらのなす角を考えられます。 直線と直線が平行である場合には，どんなに平行移動をしても角をなしませんから，注意しましょう。
ちなみに，垂直や直交など，平面図形で使ったなす角に関する言葉は，空間図形でも同じように使えます。
数学Ａでは図形を初等幾何的に（純粋な図形問題として）扱います。 しかし，空間図形はまず描くのが大変なので，初等幾何的に扱うのが難しいこともあります。
その点，今後学ぶベクトルや座標空間は扱いやすいため，初等幾何はやりたくない！という意見も多いと思います。 ですが，ベクトルや座標空間を使うと，計算量は増える傾向にあります。
問題の状況によって，最も適切な（楽な）解き方は変わります。 様々な状況に対応できるように，初等幾何的な扱い方も学んでおくと良いと思います。
確認問題
次の\(1\)辺の長さを\(a\)とする立方体\(\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}\)について，次の(1)～(3)に答えてください。
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辺\(\mathrm{AE}\)とねじれの位置にある辺をすべて求めてください。
-
線分\(\mathrm{BG}\)と辺\(\mathrm{AB}\)のなす角を求めてください。
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対角線\(\mathrm{AG}\)の長さを求めてください。
答え
空間が考えづらければ，平面を抜き出して考えると良いです。
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辺\(\mathrm{AE}\)とねじれの位置にある直線は，\(\mathrm{AE}\)と同一平面上にないものです。 言い換えれば，共有点を持たず，平行でもない直線です。
まずは\(\mathrm{AE}\)と共有点を持つ辺を除外していきましょう。 除外する辺を青で表すと，次図のようになります。
次に\(\mathrm{AE}\)と平行な辺を除外してきます。 除外する辺を緑で表すと，次図のようになります。
というわけで，残った辺である\(\mathrm{BC}\)，\(\mathrm{CD}\)，\(\mathrm{FG}\)，\(\mathrm{GH}\)が辺\(\mathrm{AE}\)とねじれの位置にある辺です。
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図を確認すると，次の通りです。
空間図形に慣れていれば，見てすぐに直角だと分かりますが，別の見方もしてみましょう。
次図のように\(\mathrm{BG}\)と平行な\(\mathrm{AH}\)，\(\mathrm{AB}\)と平行な\(\mathrm{GH}\)を考えます。
ここで，四角形\(\mathrm{ABGH}\)は平行線で囲んだ平行四辺形ですが，図形の対称性を考えれば長方形であることが分かります。 したがって，その内角は直角ですから，\(\mathrm{BG}\)と\(\mathrm{AB}\)のなす角は直角です。
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前問で見た通り，\(\triangle\mathrm{ABG}\)は直角三角形です。 \(\mathrm{BG}\)が正方形\(\mathrm{BCGF}\)の対角線であることを考えると，\(\mathrm{BG} = \sqrt{2}a\)です。
したがって，三平方の定理より，\(\mathrm{AG}\)の長さが求められます。
\( \begin{align} \mathrm{AG} &= \sqrt{\mathrm{AB}^2 + \mathrm{BG}^2} \\[5pt] &= \sqrt{a^2 + (\sqrt{2}a)^2} \\[5pt] &= \sqrt{3a^2} \\[5pt] &= \textcolor{red}{\sqrt{3}a} \end{align} \)