引き続き空間図形を学びます。 前回は空間中の直線だけの関係を考えましたが，今回は直線と平面の関係を考えます。
目次
直線と平面の位置関係
直線と平面の位置関係を考えていきましょう。 まず当然考えられるのが，直線が平面上にある場合です。
平面図形では，平面上の直線を考えてきました。 それを空間の一部として見たものが，上図です。 平面上の直線は，平面図形での直線と同じように考えられます。
次に，直線が平面上にない場合を考えましょう。 まず考えられるのが，上図で直線を平行移動し，平面の外側に出した場合です。
このとき，この直線と平面は平行であるといいます。 直線と直線の平行と同様に，直線と平面の平行も「直線\(/\!/\)平面」のように表します。
直線が平面上にないのは，平行である場合に限りません。 次図のように，直線と平面が\(1\)点で交わる場合も考えられます。
以上をまとめると，直線と平面の位置関係は，次の通りになります。
| 位置関係 | 交点数 |
|---|---|
| 直線が平面上にある | \(\infty\) |
| 平行 | \(0\) |
| \(1\)点で交わる | \(1\) |
直線と平面のなす角
平面上には色々な"向き"の直線を考えることができますから，直線と平面のなす角は考えづらそうです。 しかし，平面の"向き"をうまく考える方法があります。 平面の法線を考えるのです。
平面の法線とは，平面に垂直な直線のことです。 平面に垂直な直線とは，平面上のすべての直線に垂直な直線のことです。 図を見れば分かると思います。
このとき，この直線はこの平面に直交するともいいます。
さて，法線を考えれば，直線と平面のなす角を考えられるといいましたが，いきなり空間で考えるのは難しいので，まずは平面図形で考えてみましょう。 次図のように\(2\)直線のなす角を考えます。
これを敢えて法線を使って考えます。 右上に走っている方の直線の代わりに，その法線（青色）を考えます。
この法線と元の直線（薄い破線）のなす角は直角ですから，この法線ともう一方の直線がなす角（青色）は，もともと考えていた角（赤色）の余角です。 つまり，青と赤の角の和は直角になります。
したがって，赤い角は青い角の余角として求められます。 法線を使えば，直線と直線のなす角を間接的に求められるのです。
同様に直線と平面のなす角も，平面の代わりにその法線を考えれば，間接的に求められます。 詳しくは空間ベクトルの章で学び，数学Ａでは学びませんが，その準備として「垂直」の概念は理解しておきましょう。
直線が平面に垂直であることを示すには，次の定理が使えます。 証明は確認問題とします。
直線\(\ell\)が平面\(\alpha\)上の交わる\(2\)直線に垂直であるとき，\(\ell\)は\(\alpha\)に垂直である。
確認問題
直線\(\ell\)が平面\(\alpha\)に垂直であるとは，\(\ell\)が\(\alpha\)上の任意の直線に垂直であることでした。 しかし，すべての直線を考えるのは，簡単なことではありません。
実は，「\(\ell\)が\(\alpha\)に垂直であるためには，\(\alpha\)上の交わる\(2\)直線に垂直であれば十分」です。 なんと\(2\)直線だけでＯＫなのです。（平行だとダメですが。）
太字部を証明してください。
答え
\(\ell\)と\(\alpha\)の交点を\(\mathrm{X}\)とします。 \(\ell\)は\(\alpha\)上の交わる\(2\)直線に垂直ですが，その\(2\)直線を\(\mathcal{m}\)，\(\mathcal{n}\)とします。 直線同士のなす角は，平行移動して考えても良いのですから，\(\mathcal{m}\)，\(\mathcal{n}\)は\(\mathrm{X}\)で交わるとしても良いです。
証明したいのは，\(\ell\)が\(\alpha\)上の任意の直線に垂直であることです。 直線同士のなす角は，平行移動して考えても良いのですから，任意の直線は\(\mathrm{X}\)を通るように移動して考えられます。
したがって，\(\mathrm{X}\)を通る\(\alpha\)上の任意の直線（\(\mathcal{m}\)，\(\mathcal{n}\)以外）を考えて，これが\(\ell\)と直交することを示せば良いです。 そのような直線を青線で表します。
ここで，まず\(\ell\)が\(\mathcal{m}\)，\(\mathcal{n}\)と直交するという情報を活用するため，\(\mathcal{m}\)，\(\mathcal{n}\)上に次のように\(\mathrm{X}\)から等距離の点\(\mathrm{P}\)，\(\mathrm{Q}\)，\(\mathrm{R}\)，\(\mathrm{S}\)をとります。 \(\mathrm{X}\)を中心とする適当な円との交点をとれば良いです。
さらに，青線と\(\mathrm{PS}\)，\(\mathrm{QR}\)の交点をそれぞれ\(\mathrm{Y}\)，\(\mathrm{Z}\)とします。 あとは\(\ell\)上に\(\mathrm{X}\)でない点\(\mathrm{O}\)をとって，\(\angle\mathrm{OXY} = 90^{\circ}\)を示すだけです。
（青線の引き方によっては，\(\mathrm{PQ}\)，\(\mathrm{SR}\)との交点を考えることになりますが，後の議論は同様です。）
目標は，\(\angle\mathrm{OXY}\)または\(\angle\mathrm{OXZ}\)が直角であることを示すことですが，図を見た感じ\(\triangle\mathrm{OXY}\)と\(\triangle\mathrm{OXZ}\)の合同を示せそうです。 その際，\(\angle\mathrm{OXY}\)と\(\angle\mathrm{OXZ}\)は対応する角になりそうですから，その和が\(180^{\circ}\)であることを考えると，それぞれ直角であることが分かります。
まず\(\mathrm{XY} = \mathrm{XZ}\)を示します。 点\(\mathrm{X}\)の周りの対頂角，弧\(\mathrm{SR}\)に対する円周角に注目すれば，次が成り立つことが分かります。
\(\mathrm{XQ} = \mathrm{XR}\)ですから，\(\triangle\mathrm{XQR}\)は二等辺三角形です。 その底角は等しいので，上の\(2\)つめの式から\(\angle\mathrm{SPR} = \angle\mathrm{QRP}\)が成り立つことが分かります。
また，\(\mathrm{XP} = \mathrm{XR}\)ですから，\(1\)辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，\(\triangle\mathrm{XPY}\)と\(\triangle\mathrm{XRZ}\)は合同です。 したがって，対応する辺が等しいので，\(\mathrm{XY} = \mathrm{XZ}\)が成り立ちます。
次に\(\mathrm{OY} = \mathrm{OZ}\)を示します。 そのために，まず\(\mathrm{O}\)から\(\mathrm{P}\)，\(\mathrm{Q}\)，\(\mathrm{R}\)，\(\mathrm{S}\)に線分を引きます。
ここで遂に\(\mathcal{m}\)，\(\mathcal{n}\)が\(\ell\)と直交することを利用します。 \(\mathrm{XP} = \mathrm{XR}\)であり，\(\mathrm{OX}\)が共通なのですから，直角三角形\(\triangle\mathrm{OXP}\)，\(\triangle\mathrm{OXR}\)で三平方の定理を適用することにより，\(\mathrm{OP} = \mathrm{OR}\)が分かります。 同様に\(\mathrm{OS} = \mathrm{OQ}\)も分かります。
また，先ほど確認した\(\triangle\mathrm{XPY}\)と\(\triangle\mathrm{XRZ}\)の合同により，\(\mathrm{PY} = \mathrm{RZ}\)が成り立ちます。 あとは\(\angle\mathrm{OPY} = \angle\mathrm{ORZ}\)を示せば，\(\triangle\mathrm{OPY}\)と\(\triangle\mathrm{ORZ}\)の合同から\(\mathrm{OY} = \mathrm{OZ}\)が示せます。
ここから少し寄り道が必要です。 \(\angle\mathrm{OPY} = \angle\mathrm{ORZ}\)を示すには，\(\triangle\mathrm{OPS}\)と\(\triangle\mathrm{ORQ}\)が合同であることがいえれば良いです。 \(\mathrm{OP} = \mathrm{OR}\)，\(\mathrm{OS} = \mathrm{OQ}\)は分かっていますから，あとは\(\mathrm{PS} = \mathrm{RQ}\)を示せば良いですね。 そしてそのためには，\(\triangle\mathrm{XPS}\)と\(\triangle\mathrm{XRQ}\)の合同を示せば良いです。
その証明は簡単です。 \(\mathrm{XP} = \mathrm{XR}\)，\(\mathrm{XS} = \mathrm{XQ}\)であり，対頂角より\(\angle\mathrm{PXS} = \angle\mathrm{RXQ}\)ですから，\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので，\(\triangle\mathrm{XPS}\)と\(\triangle\mathrm{XRQ}\)は合同です。 したがって，対応する辺が等しいので，\(\mathrm{PS} = \mathrm{RQ}\)です。
あとは先に確認した論理の流れによって，\(\triangle\mathrm{OPS}\)と\(\triangle\mathrm{ORQ}\)の合同が分かり，\(\angle\mathrm{OPY} = \angle\mathrm{ORZ}\)が分かり，\(\triangle\mathrm{OPY}\)と\(\triangle\mathrm{ORZ}\)の合同が分かるため，\(\mathrm{OY} = \mathrm{OZ}\)であることが分かります。
したがって，\(\mathrm{XY} = \mathrm{XZ}\)，\(\mathrm{OY} = \mathrm{OZ}\)が成り立ち，\(\mathrm{OX}\)が共通ですから，\(3\)辺がそれぞれ等しいので，\(\triangle\mathrm{OXY}\)と\(\triangle\mathrm{OXZ}\)は合同です。 よって，対応する角である\(\angle\mathrm{OXY}\)，\(\angle\mathrm{OXZ}\)が等しく，その和は\(180^{\circ}\)なので，それぞれの角は直角です。
以上から，\(\ell\)は\(\alpha\)上の任意の直線に垂直なので，\(\ell\)は\(\alpha\)に垂直です。